Элементы комбинаторики

При нахождении вероятностей в смысле классического определения широко используются комбинаторика.

Пусть имеется множество . Размещением из n элементов множества Х по к элементам (коротко из n по к) называется упорядоченный набор элементов множества Х.

Число всех размещений (из n элементов по k) определяется формулой

.В частности, размещение из n элементов по n называется перестановкой; а число всех перестановок вычисляется по формуле !

Сочетанием из nэлементов по к называется любое подмножество , содержащее к элементов. Число всех сочетаний (из n элементов по k) вычисляется по формуле

.

Например, пусть требуется из n студентов отобрать группу из к студентов для дежурства в общежитии института. Тогда - число способов формирования групп для дежурства.

Размещения с повторением. Пусть Х - некоторое множество из различных элементов. Из них образуем строку из к элементов, она называется размещением с повторениями из n элементов по к. В строке -некоторые элементы могут повторяться. Например, слово “мама” есть размещение с повторениями из двух элементов (м,а) по четыре. Число всех размещений с повторениями из n элементов по к вычисляется по формуле

.

Например, слова русского языка суть некоторые строки из элементов множества (множество букв русского алфавита)

Пример. Имеются 3 костюма и 6 пуговиц. Все пуговицы пришиваются к указанным костюмам. Сколькими способами можно пришивать пуговицы к костюмам. Поскольку можно пришивать к изделию несколько пуговиц, Поэтому имеем число повторений n из элементов по к элементов. .

Пример 1. Определить вероятность появления четного числа очков при бросании игральной кости.

Решение. Построим классическое вероятностное пространство . В качестве возьмем означает выпадение к очков. Всего 6 исходов, все они равновероятны. Событие А есть множество , т.е. событию А благоприятствуют 3 элементарных события (к=3). Искомая вероятность выразится как Р(А)= .

В качестве самостоятельного упражнения найти вероятность появления нечетного числа очков при бросании игральной кости.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна восьми.

Решение. Итак, построим вероятностное пространство. В качестве возьмем множество пар чисел (i,j),где i,j независимо друг от друга принимают значения от 1 до 6. Всего таких исходов n = 36. Cобытие А есть множество

т.е., событию А благоприятствуют к=5 элементарных исходов.

Итак, согласно классической вероятности

.

Пример 3. Из колоды 36 карт вынимают четыре. Найти вероятность того, что среди вынутых карт будет только один туз.

Решение. Допустим, что все карты в колоде каким-то образом занумерованы от 1 до 36. В качестве множества элементарных событий возьмем все сочетания множества по 4 элемента. Ясно, что множество содержит элементов, которые считаем равновероятными. Итак, мы построиливероятностное пространство. Определим число всех элементов множества , содержащих один туз. Сначала находим число различных “троек” карт, не содержащих тузы, которое равно . Четырем различным тузам соответствует к=4 , благоприятствующих элементарных событий появлению события А. Итак, .