Уравнения в полных дифференциалах

Если левая часть уравнения

(14)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции от независимых переменных x и у, то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл имеет вид

Для того, чтобы уравнение (14) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(15)

Поясним на примере, как находится общий интеграл уравнения в полных дифференциалах.

Задача 6. Найти общий интеграл уравнения

Проверим, является ли уравнением в полных дифференциалах.

Находим

Условие (15) выполнено, следовательно, имеем уравнение в полных дифференциалах. Функция F = F (x, y) может быть найдена, исходя из условий

То есть,

F (x, y) =

где - неизвестная пока функция от y. Далее, с учетом условия (16), будем иметь

Откуда

Положим C = 0, находим

F (x, y)=5 x y - 8 xy + x + 3 y.

Следовательно, общим интегралом уравнения будет

5 xy - 8 xy + x + 3 y = C.