Глава 2. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия и теоретические сведения

Рассмотрим необходимые теоретические сведения, а также параллельно изложим методы решения ряда типовых задач, разбор которых окажет студенту-заочнику существенную методическую помощь при выполнении контрольной работы.

Напомним, что уравнения вида

F (x, y, ) = 0 (1)

где x - независимая переменная, y - искомая функция от x, - ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то оно принимает вид

= f (x, y) (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде

или в такой форме , являющимся частным случаем более общего уравнения

P (x, y) d x + G (x, y) d y = О, (3)

где P (x, y) и Q (x, y) - известные функции. Функция y = y (x), заданная на интервале (a, b), называется решением уравнения (1) или (2), если при подстановке в уравнение его обращает в тождество относительно x Î(a, b). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (2) имеет решение, дает теорема Коши.

Т е о р е м а Коши ( существования и единственности решения).

Пусть правая часть f (x, y) уравнения (2) определена в некоторой области D на плоскости OХY. Если существует такая окрестность точки области D, в которой f (x, y) удовлетворяет условиям:

1. Непрерывна по совокупности аргументов;

2. Имеет ограниченную частную производную ,

то существует и причем единственное решение y = y (x) уравнения (2) в некоторой окрестности точки , удовлетворяющее условию y (x ) = y или пишут так:

.

Замечание. Если в теореме требование ограниченности производной заменить выполнением условия Липшица:

Остановимся на следующих полезных упражнениях:

1. Рассмотрим уравнение . В этом уравнении

определена и непрерывна во всех точках плоскости OХY и имеет =2. В силу теоремы 1 через каждую точку M (x , y ) проходит единственная интегральная кривая этого уравнения.

2. Дано уравнение . Функция определена и непрерывна на всей плоскости OХY; однако, . Заметим, что во всех точках оси OX не выполняется второе условие теоремы Коши. Легко убедиться, что семейство функций при любом С является решением данного уравнения. Кроме того, это уравнение имеет решение y = 0, т.е., ось OX. Если же искать решения этого уравнения, удовлетворяющие начальному условию y (0) = 0, то таких решений можно найти бесчисленное множество; в частности, такие

y = 0, и т.д.

При этом через каждую точку оси OX проходят по крайней мере две интегральные кривые y = 0 и , то есть, в точках оси OX нарушается единственность решения.

Если же взять точку , то в достаточно малой ее окрестности выполнены все условия теоремы 1. Тем самым через данную точку в малом квадрате проходит единственная интегральная кривая . Естественно, если же квадрат достаточно расширить, то в нем единственность решения не будет выполнена, что убеждает нас о локальном характере теоремы 1.

Теорема 1 дает лишь достаточные условия единственности решения уравнения (2). Однако, не исключается возможность существования единственного решения y = y (x), удовлетворяющего начальному условию , хотя в точке M (x , y ) и не выполняются условия теоремы Коши. Можно было бы этот вариант тоже проиллюстрировать на примерах.

Таким образом, мы вплотную подошли к необходимости рассмотрения так называемых особых решений дифференциальных уравнений (1) или (2).

2. Особые решения

Решение дифференциального уравнения первого порядка называется особым, если соответствующая интегральная кривая обладает тем свойством, что через каждую ее точку проходит, кроме нее, еще и другая касающаяся ее интегральная кривая данного уравнения.

Итак, особое решение уравнения (2) представляет такое решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.

Отсюда следует, что для существования особого решения уравнения (2) необходимо, чтобы не выполнялось хотя бы одно из условий теоремы 1.

В частности, для уравнения не выполняется второе условие, т.е., производная обращается в бесконечность на OX плоскости OХY. Для этого уравнения общее решение представляет семейство кубических парабол, причем решение y = 0 проходит через те точки, где производная не ограничена. Итак, решение y = 0 – особое, так как через каждую его точку проходит другая интегральная кривая - кубическая парабола.

Замечание.Заметим, что особое решение не выделяется из общего решения (общего интеграла) при определенном значении параметра С.