Далее, используя уравнения (8) и (9) , получим

или 3 x - 4 y – 6 z = 0 - уравнение касательной плоскости;

или - уравнение нормали.

Рассмотрим задачи, связанные с нахождением производной по направлению и градиента скалярного поля.

Сначала напомним понятие производной по направлению. Говорят, что в области задано скалярное поле, если в ней задана скалярная функция U = U (x, y, z). Иногда под переменными x, y, z удобно понимать координаты радиуса-вектора переменной точки и при этом пишут

Пусть - радиус-вектор точки а - произвольный единичный вектор, означают углы между вектором и соответствующими координатными осями. Если существует конечный предел

то этот предел называется производной по направлению вектора в точке и обозначается

Если функция U=U (x,y,z) дифференцируемая в точке , то для нее производная по направлению в этой точке вычисляется по формуле:

(10)

Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

Как видно из формулы (10), что частные производные

являются производными по направлениям координатных осей. В самом деле, если, в частности, , то тогда по формуле (10) будем иметь

Градиент скалярного поля U = U (x, y, z) в точке M(x, y, z) определяется как вектор, координаты которого равны соответственно частным производным

в этой точке, то есть

Задача 9. Найти производную функции в

точке по направлению вектора и grad в точке

Решение. Находим частные производные

(См. Рис. 3).

Итак,

Рис. 4

Задача 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в треугольнике, ограниченными прямыми x = 0, y = 0, x + y = -4 (См. рис. 4).

Напомним, что функция f (x, y), дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области.

1. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

Решая систему

находим стационарную точку , которая лежит внутри треугольни-

ка. Значение функции в этой точке

2. Исследуем функцию на границе области. Для этого рассмотрим функцию отдельно на каждой стороне треугольника.

а) Исследование на стороне треугольника. На этой стороне y = 0, поэтому Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции одной переменной на отрезке . На концах этого отрезка Z (-4) = 12; Z (0) = 0. Найдем стационарные точки из уравнения .

При этом

Итак, в точке в точке

б) Исследование на стороне треугольника. На этой стороне x = 0,

тем самым Аналогично получим в точке в точке .

в) Исследование на стороне . На этой стороне y = - x -4 Тогда получим

На концах отрезка Z (-4) = 12, Z (0) = 12. Найдем стационарную точку:

Итак, в точках в точке

3. Сопоставляя все полученные значения функции, заключаем, что в точках в стационарной точке