Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства производной от векторной функции по скалярному аргументу. Три следствия!!!Опираясь на , можно показать, что справедливы следующие формулы: (5) (6) - скалярная функция. (7) (8) Доказательство (7). Ч.Т.Д. Исследуем теперь некоторые свойства . Прежде всего найдём его модуль: . Далее Т.к. мы считаем дугу годографа спрямляемой, то тогда - есть длина хорды, а - длина дуги. Поэтому Т.о. модуль производной от векторной функции скалярного аргумента равен производной от дуги годографа по тому же аргументу. Следствие 1. Если - единичный вектор, направленный по касательной к годографу в сторону увеличения , то Следствие 2. Если за аргумент векторной функции принята длина дуги годографа , то (т.к. ) Т.о. производная от векторной функции по длине дуги годографа равна единичному вектору касательной к годографу, направленному в сторону увеличения длины дуги. Следствие 3. Если годограф векторной функции рассматривать как траекторию движения точки, а - как время движения, отсчитываемое от некоторого , то по величине и направлению совпадает с вектором скорости движения . В самом деле, скалярная величина скорости равна производной от пути по времени: Кроме того, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения, что соответствует направлению возрастания , т.е. соответствует направлению . Т.о. . Рассмотрим теперь , длина которого постоянна, , т.е. (*) где Дифференцируя (*), найдём: , т.е. В частности, производный вектор от любого переменного по направлению единичного всегда . Пусть теперь угол между радиусами единичной сферы, проведёнными в точки и годографа . Тогда длина хорды из треугольника будет равна Модуль производной от единичного переменного вектора равен угловой скорости вращения этого вектора. Как и для скалярных функций, дифференциал векторной функции записывается в виде Но и тогда
|