Исследование кривых, заданных параметрически (астроида, циклоида) и в полярной системе координат (спираль Архимеда, логарифмическая спираль)!!!

Пусть , исследуем аналогично .

1) Вычисляем

и .

2) Для точек кривой, вблизи которых кривая является графиком некоторой функции , вычисляем

.

3) Находим , при которых хотя бы одна из или обращается в нуль или терпит разрыв, следовательно, - критические точки. Затем в любом интервале , (а следовательно, и в любом ) определяем знак и тем самым находим области возрастания и убывания . Это даёт также возможность определить характер точек, соответствующих .

4) Далее находим

и исследуя на знак, определяем направления выпуклости кривой на любом интервале.

Для нахождения асимптот находим такие , что при или или , или и и .

Затем исследование проводится обычным способом. Другие особенности поясним на примерах.

Пример.

(1’)

и опр. для , но в силу периодичности . Тогда и кривая асимптот не имеет.

Далее

(*) при

(**)

На основании (*) и (**) составим таблицу:

обл. изм. t	x	Y	Знак	убыв., возр.
			-	убыв.
			+	возр.
			-	убыв.
			+	возр.

Из таблицы следует, что (1) определяет 2 непрерывных : при и при .

Из (**) следует, что и , т.е. в этих точках касательная к вертикальна. В точках же , т.е. касательная к - горизонтальна. Далее :

при - кривая вогнутая,

при - кривая выпуклая.

(астроида)

49) Общий план исследования функции и построения ее графика!!!

Под «исследованием функции» обычно понимается нахождение:

1) естественной области существования функции;

2) точек разрыва функции; нули функции?

3) интервалов возрастания и убывания функции;

4) точек максимума и минимума и экстремальных значений функции;

5) областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба;

6) асимптот графика функции.

На основании проведённого исследования строится график. Целесообразно помечать элементы графика параллельно с исследованием.

Замечание 1. Если - чётная, т.е. достаточно исследовать и строить её график для ОДЗ, т.к. график симметричен OY.

Замечание 2. Если - нечётная, т.е. также достаточно провести исследование для . График симметричен относительно начала координат.

Замечание 3. Т.к. одни свойства функции могут определять другие, то порядок исследования можно изменять, исходя из конкретного вида исследуемой функции. Например, если непрерывна и дифференцируема и найдены точки максимума и минимума, то тем самым определены области убывания и возрастания.