Приближенное решение уравнений. Метод Ньютона (касательных) уточнения корня !!!

Метод Ньютона (касательных). Пусть имеет корень , отделённый промежутком и пусть дважды дифференцируема на . Рассмотрим график . Проведём в касательную имеющую уравнение

Эта касательная пересечёт ОХ в точке с абсциссой Докажем, что если возрастает, т.е и т.е. вогнута. При этих условиях, учитывая, что на получим

Т.к. также возрастает. Из имеем

а по формуле Лагранжа

где а Т.к. т.е.

или Ч.Т.Д.

Следовательно, и поэтому более точное приближение , чем Заменяя на можно повторить эту процедуру и найти

которое находится между и Продолжая процесс, получим последовательность

где (*)

Теорема. Последовательность имеет пределом точный корень уравнения

Доказательство. Т.к. монотонно убывающая, то для и имеет предел Покажем, что

т.е. С – есть корень т.к. единственный корень в

Метод уточнения корня с помощью формулы (*) называют методом Ньютона.

Итак метод Ньютона применим, если в промежутке содержится только 1 корень уравнения не должна иметь экстремумов и точек перегиба, т.е. и Кроме того, график должен пересекать ось Х, т.е. При этих условиях гарантируется существование области , которая распологается слева или справа от , в зависимости от того, где будут одинаковы знаки и

Эти условия являются достаточными. Т.е. рпи их нарушении может случиться так, что корень всё же находится по методу Ньютона.

Оценим теперь абсолютную погрешность го приближения

где конец отрезка который не принадлежит области

По формуле Лагранжа

но

Т.к. знакопостоянна, то монотонно врзрастает или убывает и во всех случаях имеет наименьшее значение в Поэтому, заменяя на и получаем равенство (*).