Асимптоты функции!!!

Довольно часто требуется исследовать форму кривой при неограниченном возрастании . Важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении её переменной точки в бесконечность (т.е. при расстояния от начала координат до этой точки) неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю.

Различают вертикальные асимптоты – т.е. параллельные OY, горизонтальные – т.е. параллельные OX и наклонные, т.е. не параллельные OY или OX.

I. Вертикальные асимптоты. Из определения следует, что если

,

то прямая есть асимптота кривой , и обратно, что если есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для нахождения вертикальных асимптот нужно найти такие , чтобы при . Тогда и будет асимптотой.

II. Наклонные асимптоты. Пусть имеет наклонную асимптоту

(1) .

Определим коэффициенты и . Пусть и . расстояние от до . По условию

(2)

Пусть - угол наклона к оси из ; т.к. , то

(2’) .

При этом из (2) (2’) и наоборот. С другой стороны,

и (2’) приобретает вид:

(3) .

(4) Итак, если (1) есть асимптота, то выполняется (3) и, наоборот, если выполняется (3), то (1) – уравнение асимптоты.

(5) Определим теперь и . Вынося за скобки, получим

(6)

(7) Т.к. или

(8)

(9) Зная теперь можно найти и из (3)

(10)

(11) Итак, если есть асимптота,

(12) (*)

(13) Обратное также справедливо. Если существуют пределы (*), то есть асимптота. Если же хотя бы один из пределов не существует, то асимптоты не имеет.