Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие точки перегиба функции!

Рассмотри кривую , которая является графиком однозначной, дифференцируемой функции .

Определение 1. Будем говорить, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой касательной, проведенной к любой точке из этого интервала.

Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все её точки лежат выше любой её касательной на .

Кривая, обращённая выпуклостью вверх, называется выпуклой, а обращённая выпуклостью вниз – вогнутой.

В этом разделе мы установим признаки, которые позволяют судить о направлении выпуклости графика на различных интервалах определения .

Теорема 1. Если кривая выпукла на .

Доказательство. Пусть . Проведём касательную к графику в точке с абсциссой . Теорема будет доказана, если все точки будут лежать ниже этой касательной. Т.е. ордината будет меньше ординаты у касательной при одном и том же значении .

Как установлено ранее, уравнение касательной в точке имеет вид:

или

.

Нас интересует знак разности , которую можно записать в виде:

.

Применяя т. Лагранжа к разности мы можем записать:

(где С лежит между и ), или

,

и к разности производных опять применим ту же теорему

, между и .

Рассмотрим теперь случай . Тогда ; т.к. и и по условию теоремы , т.е. Теорема 1 доказана.

Пусть теперь , тогда . В этом случае и , но .

Таким образом мы доказали, что и ордината касательной больше ординаты графика , а это означает, что кривая выпукла, Теорема 1 доказана.

Аналогично доказывается и Теорема 1’.

Теорема 1’. Если , то кривая вогнута на .

Геометрическая интерпретация.

есть - угла наклона касательной в точке с абсциссой . Поэтому Если убывает при возрастании .

Если же возрастает при возрастании .

Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба этой кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею.

Сформулируем теперь достаточные условия того, что данная точка является точкой перегиба.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если , или не существует, и при переходе через меняет знак, то точка кривой с есть точка перегиба.

Доказательство. 1) при и

при .

Тогда, при кривая выпукла, а при - вогнута. Следовательно, есть точка перегиба.

2) Пусть теперь при и при , тогда при кривая вогнута, а при - выпукла. Следовательно, точка есть точка перегиба.

Date: 2016-07-05; view: 384; Нарушение авторских прав