Исследование функции на экстремум с помощью второй производной. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке!!!

Пусть при производная от обращается в нуль, т.е. . Пусть, кроме того, и непрерывна в окрестности . Тогда справедлива

Теорема. Пусть , тогда при имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство. Пусть и . Т.к. непрерывна, то малый отрезок, содержащий , во всех точках которого .

Т.к. убывает на выбранном отрезке . Но , при и при . Т.е. при переходе через меняет знак с “+” на “-“, а это значит, что имеет в .

Пусть теперь в окрестности . Т.к. при и при . Т.о., при переходе через изменяет знак с “-” на “+“, т.о. мы имеем в .

Если в , то в этой точке может быть max, min, или не быть ни того ни другого. В этом случае исследование функции надо вести первым способом (т.е. исследовать знак первой производной).

Схема исследования.

		Крит. точка
	<0, “ – “	Max
	>0, “+”	Min
		Неизвестно