Необходимое и достаточное условие существования экстремума!!!

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума).

Если f(x) дифференцируема на (a,b) и при x=x₁ имеет max или min (x₁Î(a,b)), ее производная обращается в нуль в этой точке, то есть f¢(x₁)=0. Эта теорема более слабая, чем теорема Ферма, так как требует дифференцируемости функции на (a,b), тогда как теорема Ферма – дифференцируемости только в точке x₁.

Доказательство проводится аналогично: Пусть x₁ -точка максимума, …

Замечание. Если f(x) определена на [a,b], то она может достигать max или min только на (a,b). Так как ее поведение при x<a или x>b неизвестно.

Геометрический смысл: в точках min и max касательная параллельнаОХ.

Следствие. Если f(x) дифференцируема при любом x, то она может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная обращается в нуль. Обратное же, вообще говоря, неверно. То есть max или min не обязательно достигаются в точках, в которых f¢(x)=0.

Определение. Значения аргумента, при которых f¢(x)=0, или f¢(x) терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Из выше сказанного следует, что не при всяком критическом значении f(x) достигает min или max, но те точки, в которых достигается экстремум-критические.

Для нахождения экстремумов находят все критические точки, а затем исследуют любые из них. Исследование функции в таких точках опирается на следующие теоремы:

Теорема 2. (Достаточные условия существования экстремума). Пусть f(x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки x₁ Î (a,b) и дифференцируема в этой окрестности, за исключением может быть самой x₁. Если при переходе слева направо через производная меняет знак с + на -, то в x=x₁ функция достигает максимального значения, если же с - на + -минимум f(x).

Таким образом, если

Доказательство. Пусть f¢(x) изменяет знак с + на -, то есть рассмотрим случай a). Применим теорему Лагранжа:

f(x)-f(x₁)=f(x)(x-x₁), где xÎ(x,x₁)

1). Пусть далее x<x₁. Þ x< x₁, f¢(x)>0, f(x)(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (*)

2). x>x₁. Þ x> x₁, f¢(x)<0, f(x)(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (**)

Соотношения ( * ) и (* * ) показывают, что для любого x₁ Î (a,b) f(x)<f(x₁) Þ f(x₁)=max f(x), x₁ Î (a,b).

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума.

Геометрический смысл. Пусть x₁ достигается max f(x) Þ x< x₁, касательная к кривой образует острый угол a, а при x< x₁, a - тупой. То есть до x₁ f(x) возрастает, а после x₁ f(x) убывает, таким образом в x₁ происходит переход от возрастания к убыванию.

Аналогично для минимума Þ f(x) убывает до x₁, а затем возрастает.

Если же f¢(x₃)=0,но и для x< x₃ и x< x₃ f ¢(x) не изменяет знака Þ f(x) возрастает или убывает и до и после x₃ и экстремум не достигается.

y=x³, y¢=3x², y¢=f¢(x), при x=0, но при |x|>0 f¢(x)>0 -экстремума нет.