Математическое определение и геометрический смысл производной!!!

Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки X=Xo, X=X1, точка этой же окрестности, причем X1 не равно Xo. Разность X=X1-Xo называется приращением независимой переменной. Соответствующая разность y=f(x1)-f(xo) называется приращением зависимой переменной.

Частное y/x = (f(xo+x)-f(xo))/x называется разностным отношением. Производной функции f(x) в точке x=xo называется предел разностного отнош f `(xo)= lim (x->o) (f(xo+x)-f(xo))/x

Геом смысл: произв f`(xo) есть угловой коэф (tg угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке xo, т.е. k= f`(xo)

Ур-е касат: y-f(xo)=f`(xo)(x-xo)

Физ смысл: произв – это скорость изменения ф-ции относит некот исследуемого фактора

Непрерывность и дифференцируемость функций!!!

Определение

Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точке имеет вид:

(4)

где: А - постоянное число

- бесконечно малая при .

Теорема

Для того чтобы функция f(x), была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.