В полярной системе координат

Понятие о дифференциале функции и его геометрический смысл. Инвариантность дифференциала 1-го порядка.

Столь же важным в математическом анализе, как и производная, является понятие дифференциала функции.

Для любой дифференцируемой f(x) связь между D y и D x записывается в виде (*) D y=(y¢+a)Dx=y¢Dx+aDx

Величина a - бесконечно малая вместе с D x, то есть

В силу этого a×D x - бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с D x, а y¢×Dx -бесконечно малая величина того же порядка, что и D x, если y¢¹0 при данном x.

Таким образом (*) определяет бесконечно малую D y (y¢¹0) в виде суммы двух слагаемых: y¢×Dx=O(Dx) и a×Dx=o(Dx). Поэтому y¢×Dx - будет главной частью приращения D y, причем пропорциональной D x.

Определение. Дифференциалом функции называют главную (линейную) часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента и обозначают символом:

(* * ) dy=y¢×Dx

Если (* * ) применить к аргументу x, то так как (x)¢=1 Þ

dx=(x)¢Dx=1×Dx=Dx

Поэтому dy=y¢×Dx

Внося dy и dx в ( * ) получим:

(** * ) Dy=dy+a×dx

Таким образом установлены следующие свойства дифференциала и его связь с приращением функции:

1. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента (то есть независимой переменной).

d y= y¢×Dx

2. Разность между приращением функции D y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с D x

D y-dy=o(Dx)

а также (при y¢¹0) высшего порядка по сравнению с D y или dy

D y-dy=o(Dy) ( т.к. Dy=O(Dx),

D y-dy=o(dy) ( т.к. dy=y¢×Dx)

3. В силу последнего свойства, при y¢¹0 приращение D y и дифференциал dy при бесконечно малом D x являются равносильными бесконечно малыми величинами:

dy~Dy

Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл:

Значение дифференциала функции при данных x и Dx равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой x графика f(x) при переходе от x к точке с абсциссой x+Dx.

!!!!!!!Дифференциалом функции в называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

.

Покажем, что и эквивалентные бесконечно малые при :

( - бесконечно малая).

Геометрический смысл дифференциала:

П роведем к графику функции в точку касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем: , т.е. . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому или . Это означает, что дифференциал функции в равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получает приращение .

Приближенные вычисления:

!!!!!!!