Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пределы числовых последовательностейЧисловые последовательности. Формула общего члена. Предел числовой последовательности. Сходящаяся и расходящаяся последовательности. Ограниченная последовательность. Монотонная последовательность. Теорема Вейерштрасса. Основные свойства пределов. Некоторые замечательные пределы. Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:
1, 2, 3, …, n –1, n, ….
Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом un, следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:
u 1, u 2, u 3, …, un - 1, un, …, кратко обозначаемый { un }
и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой un = f (n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n;эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).
П р и м е р ы числовых последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность приближённых значений с увеличивающейся точностью. В последнем примере невозможно дать формулу общего членапоследовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью. Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгоеопределение. Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a - , a + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | un | M для всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной. Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства). Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций. Если { un } и { vn } - две сходящиеся последовательности, то: Если члены последовательностей { un }, { vn },{ wn }удовлетворяют неравенствам
|