Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная. Геометрический и механический смысл производной
Производная. Приращение аргумента. Приращение функции. Дифференцируемая функция. Геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной. Механический смысл производной. Средняя и мгновенная скорость. Ускорение.
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некотороемалое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) - f (x 0) называется приращением функции. Производной функции y = f (x) в точке x 0называется предел:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x):
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0, f (x 0)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0) имеет вид: y = f ’(x 0) · x + b. Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точкуA: f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b, отсюда, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f (x 0) + f ’(x 0) · (x – x 0). Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) - x (t 0) = , а её средняя скорость равна: va = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t 0) материальной точки в момент времени t 0. Но по определению производной мы имеем: отсюда, v (t 0) = x’ (t 0), т.e. скорость – это производная координаты повремени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).
|