Элементарные функции и их графики

Прямая пропорциональность. Линейная функция.

Обратная пропорциональность. Гипербола.

Квадратичная функция. Квадратная парабола.

Степенная функция. Показательная функция.

Логарифмическая функция. Тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

1.	Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямопропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k x, где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через началокоординат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k: tan = k (рис.8). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловымкоэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3.
2.	Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:   A x + B y = C,   где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейныхфункций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратнопропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   y = k / x, где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (оконических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величинапостоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.     Основные характеристики и свойства гиперболы: - область определения функции: x 0, область значений: y 0; - функция монотонная (убывающая) при x < 0и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему?); - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная,непериодическая; - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11).Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.   График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, чтои y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами: Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x 2 и дискриминанта D = b 2 – 4 ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см.соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции: - < x < + (т.e. x R), а область

значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. (А что при D 0?).

5.

Степенная функция. Это функция: y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Такимобразом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, чтонулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. еёграфик - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:     Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно началакоординат. Функция y = x 3 называется кубической параболой. На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной кквадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

6.	Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста!).Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии,параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции: - область определения функции: - < x < + (т.e. x R); область значений: y > 0; - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
7.	Логарифмическая функция. Функция y = log a x, где a – постоянноеположительное число,не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Основные характеристики и свойства логарифмической функции: - область определения функции: x > 0,а область значений: - < y < + (т.e. y R); - это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - у функции есть один ноль: x = 1.
8.	Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функциймы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой.   График функции y = cos x представлен на рис.20; это такжесинусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2. Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: - область определения: - < x < + ;область значений: -1 y +1; - эти функции периодические: их период 2 ; - функции ограниченные (| y | 1), всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.19 и рис.20); - функции имеют бесчисленное множество нулей (подробнее см. раздел «Тригонометрические уравнения»).   Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22   Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область определения и область значений этих функций:
9.	Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены водноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24)многозначные,неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x +1 и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные,не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1;

их области значений: - /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

(y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая);

- каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x).

Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26)- многозначные, неограниченные; их область определения: - x + . Их главные значения y =arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения: - x + ;

их области значений: - /2< y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

(y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая);

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0);

функция y = arccot x нулей не имеет.