Дифференциал и его связь с производной

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции - это произведение производной f ’(x ₀) и приращения аргумента :

df = f ’(x ₀) · .

Геометрический смысл дифференциала ясен из рис.2: здесь df = CD

Основные свойства производных и дифференциалов

Основные свойства производных и дифференциалов.

Производная сложной функции.

Если u (x) ≡ const, то

u’ (x) ≡ 0, du ≡ 0.

Если u (x) и v (x) - дифференцируемые функции в точке x ₀, то:

(c u) ’ = c u’, d (c u) = c du, (c – const);

(u ± v) ’ = u’ ± v’, d (u ± v) = du ± dv;

(u v) ’ = u’ v + u v’, d (u v) = v du + u dv;

Производная сложной функции. Рассмотрим сложную функцию,аргумент которой также является функцией:

h (x) = g (f (x)).

Если функция f имеет производную в точке x ₀, а функция g имеет производную в точке f (x ₀), то сложная функция h также имеет производную в точке x ₀, вычисляемую по формуле:

h’ (x ₀) = g’ (f (x ₀)) · f’ (x ₀).