Пример выполнения заданий по теме 5

Задание 5.1. Найдите неопределенные интегралы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

ж) ;

Решение.

а) Сделаем замену t = sinx. Тогда dt = cosxdt и:

=

б) Выполним замену: Получаем:

в) Воспользуемся методом интегрирования по частям:

г) Применим метод интегрирования по частям дважды:

д) Представим дробь в виде суммы простейших дробей.

Так как то = .

Тогда = . Откуда следует, что 2 x + 5 = A (x – 1) + + B (x + 3). Положим x = -3, тогда -1 = -4 A, то есть A = ; Положим x = 1, тогда 7 = 4 B, то есть B = . Следовательно, = . Тогда =

=

е) Для нахождения данного интеграла воспользуемся подстановкой t = . Тогда , откуда и . Таким образом, .

Так как под знаком интеграла получилась неправильная дробь , то разложим неправильную дробь на сумму правильной дроби и многочлена. Выполнив деление числителя на знаменатель, получим: = 2 - . Тогда . Сделав обратную замену t = , получим, что = .

ж) Для нахождения данного интеграла воспользуемся формулой:

sin sin = .

Тогда:

= = = = =

Задание 5.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

Решение.

График функции y = x – прямая, являющаяся осью симметрии первого и третьего координатных углов; график функции y = x² - парабола с вершиной в точке (0;0), а графиком линии x = 2 является прямая, перпендикулярная оси абсцисс и проходящая через точку (2; 0).

Построим графики функций: y = x, y = x², x = 2.

Искомая фигура заштрихована на рисунке:

Тогда

S = (ед²)