Краткие теоретические сведения

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: .

Теорема о производной сложной функции. Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x, а функция y = f (u) имеет производную в соответствующей точке u = φ(x), то сложная функция y = f (φ(x)) имеет производную в точке x, которая находится по формуле: .

Теорема (правило Лопиталя). Предел отношения двух бесконечно больших (или бесконечно малых функций) при х ® а равен пределу отношения их производных, при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует:

.

Теорема (достаточные условия возрастания и убывания функции).

1. Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f ¢(x) > 0 для любого x (a, b), то функция возрастает на интервале (a, b).

2. Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f ¢(x) < 0 для любого x (a, b), то функция убывает на интервале (a, b).

Точка называется точкой максимума функции y = f (x), если существует такая δ - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f ().

Точка называется точкой минимума функции y = f (x), если существует такая δ - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f (x) > f ().

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция f (x) дифференцируема в точке и точка является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема (достаточные условия существования экстремума).

1. Пусть функция f (x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f ¢(x) меняет знак с плюса на минус, то в точке функция f (x) имеет максимум, а если производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке функция f (x) имеет минимум.

2. Пусть в точке f ¢() = 0 и f ¢¢() существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Тогда, если f ¢¢() < 0, то функция имеет в точке максимум, а если f ¢¢() > 0, то функция имеет в точке минимум.

Функция называется выпуклой вниз на интервале (a,b), если для любых двух значений и из интервала (a,b), выполняется неравенство:

.

Функция называется выпуклой вверх на интервале (a,b), если для любых двух значений и из интервала (a,b), выполняется неравенство:

.

Для дифференцируемой функции график будет расположен под касательной, если функция выпукла вверх, и над касательной, если вниз.

Теорема (достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции). Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, то функция y = f (x) выпукла вверх. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) положительна, то функция y = f (x) выпукла вниз.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, ы которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f ¢¢(x) при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика функции с абсциссой является точкой перегиба.

Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки (x, f (x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если или .

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x), если .

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y=f (x), если:

и b = .