Пример выполнения заданий по теме 2

Задание 2.1. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами А (2; 1), В (-1; -1), С (3; 4)и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.

Решение.

1. Найдем длину высоты AD в треугольнике, как расстояние от точки A до прямой BC. Для нахождения уравнения прямой ВС воспользуемся уравнением прямой проходящей через две точки: . Так как x = – 1, y = – 1, x = 3, y = 4, то получим , которое равносильно уравнению 4 y + 4 = 5 x + 5, из которого получаем общее уравнение прямой:

5 x – 4 y + 1 = 0. Так как расстояние от точки M (x , y ) до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0находится по формуле , то AD = = .

2. Для нахождения уравнения перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB, воспользуемся условием перпендикулярности прямых на плоскости: l l k = – . Для нахождения составим уравнение прямой проходящей через две точки и преобразуем полученное уравнение к уравнению с угловым коэффициентом.

Так как уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: , а А (2; 1), В (-1; -1), то имеем: x = 2, y = 1, x = –1, y = –1.

Тогда уравнение прямой AB будет: . Данное уравнение равно-сильно уравнению: – 3(y – 1) = – 2 (x – 2), которое преобразуем к виду

y = . Найдем из данного уравнения k = . Тогда угловой коэффициент прямой CK, перпендикулярной прямой AB будет равен k = – .

Для составления уравнения прямой CK воспользуемся уравнением прямой:

y – y = k (x – x ). Тогда уравнение прямой CK будет y – 4 = – (x – 3), которое будет равносильно уравнению 3 x + 2 y – 17 = 0.

Ответ: Длина высоты AD равна , уравнение перпендикуляра, опущен-ного из точки С на прямую АВ - прямой CK, будет иметь вид 3 x + 2 y – 17 = 0.

Задание 2.2. Определить тип кривых и построить их. Для эллипса, гиперболы найти полуоси, эксцентриситет, координаты фокусов; для параболы – параметр р и координаты фокуса, для окружности – координаты центра окружности и радиус окружности.

Решение.

1. (x + 2) + (y – 4) = 9. Так как каноническое уравнение окружности имеет вид: (x - x ) + (y – y ) = R , то уравнение (x + 2) + (y – 4) = 9, которое сводится к уравнению (x – (–2)) + (y – 4) = 3 , определяет окружность с центром в точке O' (–2; 4) и R = 3. Изобразим ее.

2. . Так как каноническое уравнение эллипса имеет вид: , то преобразовав исходное уравнение к виду: , мыполучим уравнение эллипса с полуосями: a = 3, b = 4. Так как b > a , то фокусы данного эллипса находятся на оси OY. Изобразим данный эллипс.

Так как эксцентриситет эллипса с фокусами на оси ординат находится по формуле , где c = , то c = = и .

Координаты фокусов эллипса для случая b > a имеют вид F (0; – c), F (0; c), поэтому будут: F (0; – ), F (0; ).

3. . Так как каноническое уравнение гиперболы имеет вид: (для случая, когда фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс) и (для случая, когда фокусы гиперболы расположены на оси ординат), то преобразовав исходное уравнение к виду: , мы получим уравнение гиперболы с полуосями: a = 2, b = 4 и фокусами, расположенными на оси ординат. Изобразим данную гиперболу.

Так как эксцентриситет гиперболы с фокусами на оси ординат находится по формуле , где c = , то c = = и .

Координаты фокусов гиперболы для случая имеют вид F (0; – c), F (0; c), поэтому будут: F (0; – ), F (0; ).

4. y = - 8 x. Это уравнение параболы, каноническое уравнение которой имеет вид y = - 2 px. Парабола имеет вершину в точке О (0; 0) и располагается во второй и третьей четверти. Параметр параболы p = 4. Для уточнения вида параболы найдем координаты хотя бы одной точки. Если x = - 2, то y = 4.

Тогда график параболы будет следующий:

Так как координаты фокуса для параболы, заданной уравнением y = - 2 px,

имеют вид F (; 0), то для данной параболы координаты фокуса будут

F (- 2; 0).

Задание 2.3. Написать канонические уравнения прямой

Решение.

Для нахождения канонического уравнения прямой, найдем координаты любых двух точек этой прямой.

1. Примем координату первой точки х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений, тогда получим:

, т.е. А (0, 2, 1).

2. Примем координату второй точки прямой z = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений, тогда получим:

, т.е. B (). 3. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: . Подставим координаты точек A и B в данное уравнение: .

Ответ:

Задание 2.4. Найти угол между плоскостью α: x + 2 y – z + 1 = 0 и прямой, проходящей через начало координат и точку М (2; 1; -2). Вычислить рассто-яние от точки М до плоскости α.

Решение.

1. Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямой и плоскостью: sin = , где – нормальный вектор плоскости α, - направляющий вектор прямой. Для нахождения уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: . Так как М (2; 1; -2), O (0; 0; 0), то уравнение прямой MO будет иметь вид: . Тогда . Так как уравнение плоскости α: x + 2 y – z + 1 = 0, то , поэтому

sin = =

Значит, = arcsin .

2. Расстояние от точки M (x ; y ; z ) до плоскости α, заданной уравнением x + 2 y – z + 1 = 0 находится по формуле d = . Тогда

d = .

Ответ: = arcsin , d 2,86.

Date: 2016-11-17; view: 355; Нарушение авторских прав