Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример выполнения заданий по теме 4Задание 4.1. Найти производные данных функций. а) ; б) Решение. а) Для нахождения производной воспользуемся правилом нахождения производной частного и производной сложной функции: y' = = = = = . б) Для нахождения производной функции применим правила нахождения производной разности и производной частного, а также дважды применим правило нахождения производной сложной функции: = = =
=
Задание 4.2. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. При исследовании функции будем придерживаться следующей схемы: 1. Найдем область определения функции. 2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. 3. Исследуем функцию на четность и нечетность. 4. Найдем асимптоты графика функции. 5. Найдем y' и с помощью ее определим промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции. 6. Найдем y'' и с помощью ее определим промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. 7. Используя пункты 1 – 6 данной схемы строим график функции, в случае затруднения берем несколько дополнительных точек.
1. Так как дробь определена при всех значениях x 1, то областью определения функции будет D (f) = (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; +¥). 2. а) Найдем точки пересечения с осью абсцисс: y = 0, поэтому = 0, откуда x = 0. Таким образом, получаем точку пересечения с осью OX: точку O (0; 0). б) Найдем точки пересечения с осью ординат: x = 0, тогда y = . В итоге получаем ту же точку O (0; 0). 3. Найдем y (- x) = = = – y (x), то есть функция является нечетной. 4. а) Найдем вертикальные асимптоты графика функции. Найдем = , = . Значит, прямая x = 1 является вертикальной асимптотой графика функции . Найдем = , = . Значит, прямая x = - 1 является вертикальной асимптотой графика функции . б) Найдем горизонтальные асимптоты графика функции. Для этого найдем = = = = + . (При вычислении предела применили правило Лопиталя). Аналогично, = - . Таким образом, горизонтальных асимптот график функции не имеет. в) Найдем наклонные асимптоты графика функции. Так как наклонная асимптота имеет вид y = kx + b, то найдем k и b. k = = = = = 1. Аналогично, = 1. Таким образом, k = 1. b = (y – kx) = = = = = = = = = 0. Значит, график функции имеет наклонную асимптоту y = x. 5. Найдем производную функции : = . Решая уравнение = 0, находим критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. Найдем промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. x < - , y ¢ > 0, функция возрастает - < x < -1, y ¢ < 0, функция убывает -1 < x < 0, y ¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y ¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y ¢ < 0, функция убывает < x, y ¢ > 0, функция возрастает Так как при переходе через точку х = - знак производной функции меняется с «плюса» на «минус», то точка х = - является точкой максимума. А так как при переходе через точку х = знак производной функции меняется с «минуса» на «плюс», то точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны: y = y (- ) = - -2,6, y = y () = -2,6. Данные проведенного исследования можно кратко изобразить на следующей схеме: 6. Найдем вторую производную функции .
Определим выпуклость и вогнутость графика функции на промежутках: x < -1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая -1 < x < 0, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая 0 < x < 1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая 1< x, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая Таким образом, точка O (0; 0) – точка перегиба графика функции. Данные проведенного исследования можно изобразить схематически: 7. Используя данные проведенного исследования, построим график функции. Для уточнения графика найдем несколько точек графика функции:
|