Пример выполнения заданий по теме 4

Задание 4.1. Найти производные данных функций.

а) ; б)

Решение.

а) Для нахождения производной воспользуемся правилом нахождения производной частного и производной сложной функции:

y' = = =

= =

.

б) Для нахождения производной функции применим правила нахождения производной разности и производной частного, а также дважды применим правило нахождения производной сложной функции:

=

= =

=

Задание 4.2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

При исследовании функции будем придерживаться следующей схемы:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Исследуем функцию на четность и нечетность.

4. Найдем асимптоты графика функции.

5. Найдем y' и с помощью ее определим промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции.

6. Найдем y'' и с помощью ее определим промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Используя пункты 1 – 6 данной схемы строим график функции, в случае затруднения берем несколько дополнительных точек.

1. Так как дробь определена при всех значениях x 1, то областью определения функции будет D (f) = (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; +¥).

2. а) Найдем точки пересечения с осью абсцисс: y = 0, поэтому = 0, откуда x = 0. Таким образом, получаем точку пересечения с осью OX: точку O (0; 0).

б) Найдем точки пересечения с осью ординат: x = 0, тогда y = . В итоге получаем ту же точку O (0; 0).

3. Найдем y (- x) = = = – y (x), то есть функция является нечетной.

4. а) Найдем вертикальные асимптоты графика функции. Найдем = , = . Значит, прямая x = 1 является вертикальной асимптотой графика функции .

Найдем = , = . Значит, прямая x = - 1 является вертикальной асимптотой графика функции .

б) Найдем горизонтальные асимптоты графика функции. Для этого найдем = = = = + . (При вычислении предела применили правило Лопиталя). Аналогично, = - .

Таким образом, горизонтальных асимптот график функции не имеет.

в) Найдем наклонные асимптоты графика функции. Так как наклонная асимптота имеет вид y = kx + b, то найдем k и b. k = = = = = 1. Аналогично, = 1. Таким образом, k = 1. b = (y – kx) = = = = = = = = = 0.

Значит, график функции имеет наклонную асимптоту y = x.

5. Найдем производную функции :

= .

Решая уравнение = 0, находим критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

x < - , y ¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y ¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y ¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y ¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y ¢ < 0, функция убывает

< x, y ¢ > 0, функция возрастает

Так как при переходе через точку х = - знак производной функции меняется с «плюса» на «минус», то точка х = - является точкой максимума. А так как при переходе через точку х = знак производной функции меняется с «минуса» на «плюс», то точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны: y = y (- ) = - -2,6, y = y () = -2,6.

Данные проведенного исследования можно кратко изобразить на следующей схеме:

6. Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость графика функции на промежутках:

x < -1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

1< x, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

Таким образом, точка O (0; 0) – точка перегиба графика функции.

Данные проведенного исследования можно изобразить схематически:

7. Используя данные проведенного исследования, построим график функции. Для уточнения графика найдем несколько точек графика функции:

x	0,5
y	-0,2	2,7	3,4

Date: 2016-11-17; view: 305; Нарушение авторских прав