Точность оценки вероятности и способы определения необходимого объёма выборки

При решении практических задач n<<¥,поэтому полученная в результате стат. моделирования оценка P_A* будет иметь погрешность

Найдем вероятность того, что при фиксированном n оценка P_A* будет отличаться от истинной вероятности более, чем на D:

P_д - доверительная вероятность; (-D,D) - доверительная интервал для P_A;

- диапазон изменения ФРВ СВ P_A* в рамках доверительного интервала; - ПРВ СВ P_A*.

Поскольку СВ P_A* распределена по нормальному закону, т.е. вид ЗР известен, можно оценить погрешность D и без знания значений параметров ЗР, воспользовавшись таблицами, составленными для стандартизованного ЗР (нормального). В результате замены СВ P_A* на станд. нормальную СВ U и полученное соотношение примет вид:

(-a_д, a_д] - интервал для СВ U

[ ] - диапазон измерения ФРВ СВ U.

При заданной доверительной вероятности P_д из последнего соотношения можно определить значения a_д, поскольку

- интеграл вероятностей, т.е. непосредственно из таблиц

При известном значении a_д можно указать доверительный интервал вероятности случайных событий А:

т.е.

При этом можно указать и доверительный интервал абсолютной погрешности оценки вероятности:

или

где согласно следствию а)

Таким образом, при достаточно большом n можно с доверительной вероятностью P_д оценить погрешность по формуле: или определить количество опытов, необходимое для обеспечения погрешности, не превышающей допустимую e_доп по формуле:

В приведенных формулах употребляется значения истиной вероятности, которая заведомо не известна, следовательно, прямое использование формул не возможно. На практике эта проблема решается 2-мя способами: наиболее простой состоит в подстановке в формулы некоторого возможного значения , которое позволяет получить точность, не хуже требуемой. Разумеется, выбор значения определяется условиями задачи.

Так, например, в случае задачи оценки вероятности при фиксированной погрешности e_доп следует выбрать = 0,5 для оценки n_треб, поскольку зависимость n_треб от при этом значении имеет максимум.

Разумеется, что при этом значение требуемого числа опытов будет завышено.

Если трудоёмкость эксперимента имеет существенное значение, то лучше применять итерационный способ получения оценок.

Укрупненная блок-схема типового итерационного алгоритма имеет вид:

1. Проведение начальной серии опытов объёмом n и регистрация количества случаев появления события A n_A.

2. Вычисление оценки вероятности:

3. Получение оценки требуемого количества опытов:

4. Проведение доп. серий опытов общим объемом и регистрация количества случаев появления события A n’_A

5. Уточнение оценки вероятности

6. Оформление окончательных результатов.