Непрерывно-стохастические модели

Рассмотрим на примере мат. аппарата Марковских случайных процессов с непрерывным временем и дискретными состояниями.

Случайным процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями называется процесс, у которого переходы из одного состояния z_i в другое соседнее состояние z_j возможен в любой момент времени. Такой процесс будет Марковским, если будет обладать свойством отсутствия последействия, для чего необходимо и достаточно, чтобы длительности состояний подчинялись экспоненциальному закону распределения. В этом случае его называют непрерывной Марковской цепью.

Для описания непрерывных Марковских цепей вместо переходных вероятностей используются плотности распределения вероятностей переходов

, где P_ij(Dt) – вероятность того, что система, находившаяся в момент времени t в состоянии z_i за время Dt перейдет из него в состояние z_j.

Если все l_ij не зависит от времени, Марковский процесс называется однородным, если эти плотности являются функциями времени, то процесс называется неоднородным.

Вероятность состояний P_i(t), i=1,I, системы м.б. найдены интегрированием системы диф. уравнений, которые называются уравнениями Колмогорова.

Составление уравнений производится по правилу:

, где n – число состояний системы.

Если число состояний системы конечно и из каждого состояния можно перейти за то или иное число шагов в др. состояние, то при t->¥ и λ_ij=const в системе устанавливаются некоторый предельный стационарный режим: система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них не зависит от времени, т.е. P_i=const.

Предельные вероятности состояний дают средние относительные величины времен пребывания системы в этих состояниях.

Пример.

Граф смены состояний системы самонаведения ракеты, наводящейся на цель.

Для формального описания процесса смены состояний можно использовать 2 уравнения Колмогорова и уравнение связи

При t->¥ и l_ij=const, т.е. в установившемся режиме функционирования системы ДУ становятся алгебраическими.

Планирование статистических имитационных экспериментов с моделями систем. Оценка точности и достоверности результатов моделирования. Принципы построения моделирующих алгоритмов.

Источник: лекция Королева «Моделирование систем»