Определить значения переменных , которые удовлетворяют системе неравенств(5*)и максимизируют линей­ную функцию

(6*)

Решение задачи линейного программирования (5*), (6*) определяет оптимальную стратегию. При этом цена игры . (7*)

Составив расширенные матрицы для задач (1*), (2*) и (5*), (6*), убеждаемся, что одна матрица получилась из другой транспонированием:

Таким образом, задачи линейного программирования (1*), (2*) и (5*), (6*), являются взаимно-двойственными. Очевид­но, при определении оптимальных стратегий в конкретных зада­чах следует выбрать ту из взаимно-двойственных задач, решение которой менее трудоемко, а решение другой задачи найти с по­мощью теорем двойственности.

При решении произвольной конечной игры размера ре­комендуется придерживаться следующей схемы:

1.Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии по сравнению с другими стратегиями. Такими страте­гиями для игрока А (игрока В) являются те, которым соответству­ют строки (столбцы) с элементами, заведомо меньшими (боль­шими) по сравнению с элементами других строк (столбцов).

2.Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку. Если седловая точка есть, то соот­ветствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена совпадает с верхней (нижней) ценой.

3.Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных стратегиях. Для игр размера т х п рекомендуется симплексный метод, для игр размера 2х2,2хn,mх2 возможно геометрическое решение.

20. ИГРЫ С ПРИРОДОЙ

Игра с природой моделирует ситуацию, в которой два участника. Один из участников – человек или группа лиц с общей осознанной целью. Этот игрок называется статистик, его стратегиям мы будем сопоставлять строки матрицы результатов и обозначать их, как правило Ci или аббревиатурой,

соответствующей смыслу задачи. Второй участник – комплекс внешних условий, при которых статистику приходится принимать решение. Этого «игрока» называют природа. Состояния-стратегииприроды будем обозначать как правило П j или осмысленной аббревиатурой. Природа безразлична

к выигрышу и не стремится обратить ситуацию в свою пользу.

Пусть у статистика имеется m возможных стратегий C 1, C 2,..., Cm; природа может реализовать n различных состояний П 1, П 2,..., Пn.

Какое состояние природы будет реализовано в конкретном случае заранее неизвестно. Однако в некоторых случаях могут быть известны вероятности реализаций этих состояний.

Возможны три варианта постановки игры с природой.

1. Вероятности состояний природы известны и они зависят от того, какую стратегию выберет статистик. В этом случае для каждой ячейки таблицы кроме результата для статистика aij мы знаем параметр pij – вероятность то-

го, что реализуется состояние природы П j при условии, что статистик выберет стратегию Ci. Эти вероятности записывают в ту же ячейку таблицы как правило по диагонали от результата. Сумма вероятностей состояний природы в каждой строке равна единице:

pi 1 pi 2 pin 1.

Пример. Правительство рассматривает варианты вложения средств резервного фонда. Возможные варианты: краткосрочные облигации иностранного государства, валюта, инвестиции в промышленность. Результат операции зависит от экономической ситуации: курс валюты может расти или падать, может быть разный уровень инфляции и т.д. Очевидно, что вероятность той или иной ситуации зависит от выбора варианта вклада. Отметим, зависят именно вероятности развития той или иной ситуации, сама же экономическая ситуация остается неопределенной (так как на нее влияют многие другие причины).

В этом случае игру задают в виде таблицы с двумя значениями в каждой внутренней ячейке. Одно значение соответствует выигрышу статистика при выбранной им стратегии и сложившемся состоянии природы, а второе – вероятности данного состояния природы при выбранной им стратегии. Веро-

ятности записывают обычно меньшим шрифтом сверху или снизу ячейки

(см. Табл.1).

Таблица 1.

Игра с природой при известных вероятностях состояний природы, зависящих от выбора статистика

2. Вероятности состояний природы известны и они не зависят от того, какую стратегию выберет статистик. В этом случае мы знаем параметры p j –

вероятности того, что реализуется состояние природы П j и они не зависят от того, какая стратегия Ci выбрана. Эти вероятности записывают в таблицу в отдельную строку сверху или снизу строк результатов. Сумма вероятностей всех состояний природы равна единице:

Примером такой ситуации является выбор варианта вложения избыточных средств предпринимателем. Возможные варианты: валюта, ГКО, развитие производства. Несмотря на схожесть ситуации с прошлым примером, очевидно, что относительно небольшой вклад предпринимателя не повлияет на экономическую ситуацию в целом. В этом случае вероятности развития той или иной ситуации на рынке не зависят от выбора статистика.

В этом случае игру задают в виде таблицы только со значениями выигрыша статистика при выбранной им стратегии и сложившемся состоянии природы. Вероятности состояний природы (которые в этом случае едины для всего столбца) записывают отдельной строкой внизу или вверху таблицы. Эту строку обозначают, как правило Pj (см. Табл.2)

Таблица 2.

Игра с природой при известных вероятностях состояний природы, не зависящих от выбора статистика

3. Вероятности состояний природы неизвестны.

В этом случае игру задают в виде таблицы только со значениями выигрыша статистика при выбранной им стратегии и сложившемся состоянии природы. Вероятности состояний природы нигде не указывают:

Таблица 3.

Игра с природой при неизвестных вероятностях состояний природы

В качестве примера приведем такую ситуацию. Предприниматель планирует участвовать в обеспечении народных гуляний, которые намечены на 30 августа, питанием. Он должен заблаговременно закупить оборудование: холодильники для мороженого или бойлеры для горячего чая, заказать или не заказывать тенты для своих кафе и т.п. Очевидно, что оптимальный выбор оборудования зависит от погоды (жарко или холодно, солнечно или дождливо) в день гуляний. Заранее оценить вероятность погоды в конкретный день в конце лета представляется крайне проблематичным. Общая статистика предыдущих лет, дающая неплохие результаты для больших временных промежутков очень плохо «срабатывает» для одного конкретного дня.

Для выбора оптимальной стратегии в игре с природой мы будем использовать несколько критериев. Знание вероятностей необходимо лишь в одном из них. Для его использования в третьем варианте применяется правило неопределенности (принцип недостаточного основания) Лапласа, когда все состояния считаются равновероятными:

В таком случае эта постановка также является частным случаем 1 варианта. Игру с природой как и матричную игру можно упростить учитывая до-

минирование стратегий. Однако есть принципиальное отличие. В игре с природой можно отбрасывать только заведомо невыгодные (относительно других) стратегии статистика. При упрощении платежной матрицы нельзя отбрасывать никакие состояния природы, т.к. природа может реализовать любое из своих состояний независимо от того, выгодно это статистику или нет.

Рассмотрим несколько критериев выбора оптимальных стратегий при игре с природой. Каждый критерий наилучшим образом соответствует своей ситуации принятия решения и индивидуальным особенностям лица, принимающего решения. Вместе с тем возможно и использование совокупности нескольких критериев.

Важно отметить, что выбор оптимальных стратегий исключительно математическими методами, как правило, не производится. Тем не менее, эти методы дают возможность выделить из большого числа возможных вариантов наиболее предпочтительные, которые в дальнейшем необходимо анализировать с привлечением более сложных (например, экспертных или экспериментальных) методик. При смешиваемости стратегий Статистика результаты анализа позволяют наметить оптимальные пропорции долей использования лучших стратегий.

Вданном пособии будут рассматриваться задачи с небольшим количеством возможных стратегий статистика. Для целей освоения методов оценивания в качестве ответа к играм с природой договоримся записывать ту стратегию, которая чаще всего будет определяться как лучшая в отдельных критериях.

Вданном пособии буквенные обозначения параметров в критериях будут соответствовать латинским буквам их названий.