С полной или неполной информацией

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр — с неполной информацией. Например, вся “соль” "Дилеммы заключённого" или "Сравнения монеток" заключается в их неполноте.

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: “Ультиматум”, “Многоножка”. Сюда же относятся шахматы, шашки, го, манкала и другие.

Часто понятие полной информации путают с похожим - совершенной информацией. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно

5/что называется чистой стратегией.Если в игре каждый из противников применяет только одну и ту же стратегию, то про саму игру в этом случае говорят, что она происходит в чистых стратегиях, а используемые игроком А и игроком В пара стратегий называются чистыми стратегиями.

Определение. В антагонистической игре пара стратегий (А _i, В _j) называется равновесной или устойчивой, если ни одному из игроков не выгодно отходить от своей стратегии.

Применять чистые стратегии имеет смысл тогда, когда игроки А и В располагают сведениями о действиях друг друга и достигнутых результатах. Если допустим, что хотя бы одна из сторон не знает о поведении противника, то идея равновесия нарушается, и игра ведется бессистемно.

В рассмотренном в §2.2 примере 1 максиминные чистые стратегии А ₄ и В ₅неустойчивы по отношению к информации о поведении противника; они не обладают свойством равновесия.

Действительно, предположим, что мы узнали, что противник придерживается стратегии В ₃. Используя эту информацию, выберем стратегию А ₁ и получим больший выигрыш, равный 7. Но если противник узнал, что наша стратегия А ₁, он выберет стратегию В ₄, сведя наш выигрыш к 4.

Таким образом, в рассмотренном примере максиминные чистые стратегии оказались неустойчивы по отношению к информации о поведении другой стороны. Но это не всегда так.

Рассмотрим матричную игру G (3х4), платежная матрица которой приведена на рис 2.3.

Bj Ai	B1	B2	B3	B4	a i
A1
A2
A3
b j

Рис. 2.3

В этом примере нижняя цена игры равна верхней: a=b=9, т.е. игра имеет седловую точку.

Оказывается, что в этом случае максиминные стратегии А ₂ и В ₂ будут устойчивыми по отношению к информации о поведении противника.

Действительно, пусть игрок А узнал, что противник применяет стратегию В ₂. Но и в этом случае игрок А будет по-прежнему придерживаться стратегии А ₂, потому что любое отступление от стратегии А ₂ только уменьшит выигрыш. Равным образом, информация, полученная игроком В, не заставит его отступить от своей стратегии В ₂.

Пара стратегий А ₂ и В ₂ обладает свойством устойчивости, а выигрыш (в рассматриваемом примере он равен 9), достигаемый при этой паре стратегий, оказывается седловой точкой платежной матрицы.

Признак устойчивости (равновесности) пары стратегии - это равенство нижней и верхней цены игры.

Стратегии А _i и В _j (в рассматриваемом примере А ₂, В ₂), при котором выполняется равенство нижней и верхней цены игры, называются оптимальными чистыми стратегиями, а их совокупность - решением игры. Про саму игру в этом случае говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Величина (2.5)

называется ценой игры.

Если n >0, то игра выгодна для игрока А, если n <0 - для игрока В; при n =0 игра справедлива, т.е. является одинаково выгодной для обоих участников.

Однако наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее - исключение. Большинство матричных игр, не имеет седловой точки, а следовательно, не имеет оптимальных чистых стратегий. Впрочем, есть разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это - игры с полной информацией.

гией

6.что называется нижней ценной игры?

Платежная матрица