Классическая и уточненная теория изгиба прямоугольных пластин

Рассмотрим пластину в декартовой системе координат (, , ), где h - размеры пластины вдоль координатных осей). Будем излагать одновременно две теории: классическую (слева) и уточненную (справа). Эти теории основаны на следующих гипотезах:

1. Линейная деформация в поперечном направлении (обжатие) отсутствует

(2.99)

где - перемещение по оси ;

2. Сдвиговые деформации в перпендикулярных плоскостях пластины изменяются по заданным законам

(2.100)

где , - перемещения по осям , соответственно; - параметр поперечного сдвига; - обобщенный модуль упругости; - модуль сдвига материала пластины; - функция распределения поперечных сдвигов.

3. Нормальное напряжение по оси (давление слоев) отсутствует

(2.101)

4. Горизонтальная плоскость пластины () не испытывает деформацию растяжения (сжатия)

(2.102)

Принятые гипотезы позволяют свести трехмерную задачу к двухмерной.

Интегрируя (2.63), (2.64) и учитывая при этом (2.66) имеем компоненты перемещений

(2.103)

где - функция прогибов пластины; - функция распределения тангенциальных перемещений.

На основании (2.63) определяются компоненты деформации

(2.104)

Компоненты напряжений, вычисленные по обобщенному закону Гука с учетом гипотезы (2.61) имеют вид

где - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины.

Поперечные касательные напряжения, полученные интегрированием уравнений равновесия в напряжениях

с учетом напряжений (2.6) и граничных условий при , равны

(2.105)

где - функция распределения поперечных касательных напряжений; - оператор Лапласа.

Внося их в уравнение равновесия в напряжениях

и интегрируя его с учетом граничного условия при , получим выражения для

(2.106)

где - функция распределения поперечных нормальных напряжений; - бигармонический оператор.

Разрешающее уравнение для определения функции прогибов вытекает из условия , при с учетом (2.106)

(2.107)

где - обобщенная цилиндрическая жесткость пластины.

Определим интегральные характеристики

· Перемещений (2.103)

(2.108)

где - параметр цилиндрической жесткости;

· Напряжений(2.104) и (2.105)

(2.109)

где - изгибающие моменты; - крутящий момент; - поперечные силы.

На основании их представим

· Перемещений (2.103)

(2.110)

· Напряжений (2.104), (2.105) и (2.106)

(2.111)

Граничные условия для края пластины вытекают из условия равновесия пластины

(2.112)

где А – полная работа контурных условий.

Для определения параметра поперечного сдвига определим поперечные силы с использованием напряжений (2.104)

(2.113)

где А – жесткость пластины при поперечном сдвиге.

Равенство поперечных сил (2.109) и (2.113) будут выполняться при следующих условиях

, (2.114)

где первое уравнение (уравнение свободных колебаний мембраны), предназначено для определения параметра .

Учитывая (2.108) и (2.113) из (2.114) имеем

, (2.115)

следовательно параметр (2.108) имеет вид

(2.116)

Решение первого уравнения (2.114) представим в виде

(2.117)

где - максимальный прогиб мембраны; - известные балочные функции.

На основании (2.117) уравнение свободных колебаний мембраны имеет вид

Разделяя переменные, запишем его в виде

(2.118)

При выполнении следующих уравнений

(2.119)

где первое и второе уравнение устойчивости стержней, направленных вдоль координатных осей и .

На основании (2.119) собственное число мембраны (2.118) равно

(2.120)

Приведем результаты решения первого уравнения (2.119) для случаев:

1. Концы стержня шарнирно оперты

(2.121)

2. Один конец защемлен, другой свободен

(2.122)

3. Концы стержня защемлены

(2.123)

Варьируя результаты (2.121)-(2.123) можно найти по формуле (2.120) результаты для мембраны, совпадающей с пластиной. Так

1. для пластины шарнирно опертой по контуру

(2.124)

где - волновые числа вдоль осей и ;

2. для пластины, шарнирно опертой по сторонам и защемленной по сторонам

(2.125)

3. для пластины при выполнении условий (2.122) для сторон и

(2.126)

Аналогичным образом можно получить результаты для параметра при других граничных условиях.

Таким образом, предложенная уточненная теория пластины позволяет легко учесть поперечные сдвиги по классической теории пластин с введением только параметра поперечного сдвига.