Срединной поверхности пластинки

Ранее напряжения и усилия в пластинке были выражены через прогибы ее срединной плоскости. Следовательно, для того чтобы определить напряжения и усилия необходимо знать функцию прогибов w (x, y).

Рис. 1.5

Уберем из срединной плоскости пластинки бесконечно малый элемент Ocba размерами dx, dy и покажем приложенные к нему усилия (рис. 1.5). На грани Oc действует поперечная сила Q_x. На грани ab, отстоящей от грани Oc на бесконечно малом расстоянии dx, поперечная сила получает бесконечно малое приращение и равна Аналогично, на гранях Oa и bc действуют соответственно поперечные силы Q_y и К срединной плоскости нормально действует поверхностная нагрузка интенсивностью q.

Для того чтобы рассматриваемый элемент срединной плоскости находился в равновесии, должны удовлетворяться шесть условий равновесия: три уравнения проекций сил на координатные оси и три уравнения моментов относительно этих осей. При этом все усилия следует умножать на длину грани, по которой они действуют.

Спроецируем все силы, изображенные на Рис. 1.5, на ось z:

После упрощения получим

(1.15)

Уравнение моментов всех сил относительно оси y имеет вид

После упрощения получим

(1.16)

Аналогично, из уравнения моментов относительно оси x следует

(1.17)

Из уравнений (1.15) – (1.17) исключим поперечные силы. В итоге получим

Подставим в это уравнение выражения моментов (1.11) и (1.13):

откуда после упрощения

(1.18)

или

(1.19)

Уравнение (1.19) – основное уравнение изгиба пластинки, обычно называемое уравнением Софи Жермен. При его интегрировании появятся произвольные постоянные, которые должы быть определены из условий на контуре пластинки, зависящих от характера закрепления ее краев.