Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Прямоугольная пластинка. Решение ЛевиРешение Л. Навье, рассмотренное в предыдущем параграфе, пригодно только для прямоугольных пластинок, шарнирно опертых по контуру. Более общим является решение М. Леви. Оно пригодно для прямоугольной пластинки, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других имеют любое закрепление (защемление, шарнирное опирание) или свободны. Рис. 1.9
У пластинки, изображенной на рис. 1.9, шарнирно опертыми являются края OC и AB. Граничные условия на этих краях таковы: При x = 0 и x = a (а) Чтобы выполнить эти условия, функцию прогибов можно взять в виде (б) где Y – произвольная функция одного аргумента y; α = nπ/a. Так как при x = 0 и x = a sin αx = 0, то функция (б) удовлетворяет условиям (а) в отношении прогибов. Чтобы проверить условия (а) для изгибающих моментов, подсчитываем вторые частные производные функции прогибов (б) по x и y: (в) При x = 0 и x = a эти производные, аналогично самой функции, обращаются в нуль и, следовательно, условия (а) в отношении изгибающих моментов также выполняются. Функция (б) должна удовлетворять основному уравнению изгтиба пластинки. Подставляя ее четвертые производные в уравнение (1.18), получаем (г) Для решения уравнения (г) разложим его правую часть в тригонометрический ряд Фурье по синусам: (д) Коэффициенты ряда Фурье Fn (y) являются здесь функцией y. Так как разложение производится на отрезке 0 ≤ x ≤ a, то их определяют по формуле (е) Подставим ряд (д) в уравнение (г): Вынося знак суммирования за скобки, получим Это условие выполняется, если каждый член ряда равен нулю: (ж) Решение однородного дифференциального уравнения четвертого порядка (ж) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение имеет вид (з) Его решение можно представить так: (и) Обозначив частное решение уравнения (ж), получим его общее решение: (к) Подставляя функцию Y (y) в формулу (б), находим (л) Функция w является решением уравнения (1.18) в случае поперечной нагрузки q (x, y), распределенной на поверхности пластинки по любому закону, и, как показано выше, удовлетворяет граничным условиям на шарнирно опертых краях OC и AB. Рассмотрим построение частного решения . Согласно правилу Коши, частное решение неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка выражается интегралом (м) где Fn (t) – правая часть решаемого уравнения, которая определяется выражением (е) при замене аргумента y на t, а ψ (y) – частное решение соответствующего однородного уравнения. Оно удовлетворяет условиям (о) Заменив в функциях (о) и (е) аргументы и подставив эти функции в формулу (м), получим искомое частное решение уравнения (ж): Для определения произвольных постоянных An, Bn, Cn и Dn используем граничные условия на краях OA и BC. Рассмотрим пластинку, у которой эти края жестко защемлены (см. рис. 1.9). Тогда имеем следующие граничные условия: при y = 0 и y = b Подставив в них функцию прогибов (б), получим: Так как эти условия должны выполняться при любых значениях аргументы x, то (п) Внося в условия (п) функцию (к), получим систему уравнений для определения постоянных: откуда An = 0; При других закреплениях краев OA и BC получаются другие значения постоянных. Ряды в функции прогибов и ее производных сходятся значительно быстрее, чем тригонометрические ряды в решении Л. Навье, поэтому решение М. Леви более удобно в практических расчетах даже для прямоугольной пластинки, шарнирно опертых по всему контуру.
|