Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Об одном методе расчета изгибаемой пластиныРассмотрим прямоугольную пластину в декартовой системе координат . Расчетные формулы, основанные на классической теории изгибаемой пластины [1], имеют вид: ü внутренние усилия: , , , (2.59) , , где , - изгибающие моменты; - крутящий момент; , - поперечные силы; - цилиндрическая жесткость; - коэффициент Пуассона; - оператор Лапласа от функции прогибов ; ü уравнение равновесия пластины в усилиях: , (2.60) где - интенсивность внешней поперечной нагрузки; ü разрешающее уравнение для определения функции прогибов пластины: . (2.61) Решение уравнения (2.61) должно удовлетворять двум граничным условиям на каждом крае пластины. Для жестко закрепленного (защемленного), шарнирно опертого и свободного края , классическая теория пластины соответственно дает: , , (2.62) , , (2.63) , . (2.64) Таким образом, чтобы произвести расчет пластины на изгиб, необходимо определить функцию прогибов из решения уравнения (2.61) с граничными условиями (2.62), (2.63) и (2.64). Точные решения задачи изгиба пластины могут быть получены лишь в некоторых частных случаях, преимущественно для пластин постоянной толщины простой конфигурации и при определенных видах граничных условий (метод Навье, метод Леви). Применение прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова-Галеркина и метода Канторовича-Власова) позволяет получить приближенные решения изгиба пластин при сложных граничных условиях. Согласно методу Ритца функция прогибов отыскивается в виде ряда: , (2.65) где - заданные координатные функции, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям; - подлежащие определению коэффициенты из стационарности полной энергии пластины в виде системы линейных неоднородных алгебраических уравнений. При применении метода Бубнова–Галеркина координатные функции выбираются так, что выполняются не только геометрические, но и статические граничные условия, а для определения неизвестных коэффициентов ряда (2.65) составляются следующие уравнения: , (2.66) где в квадратной скобке под интегралом приведено уравнение (2.61). В ряде случаев хорошие результаты можно получить с помощью метода Канторовича – Власова, позволяющего от уравнений в частных производных приближенно перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям. По этому методу функция прогибов задается в виде: , (2.67) где - известная функция, удовлетворяющая геометрическим граничным условиям при ; - функция, подлежащая определению из уравнения, полученного из условия минимума полной энергии пластины , , , (2.68) , . Отметим, что при применении метода Ритца и Бубнова–Галеркина, чтобы получить удовлетворительные результаты, необходимо удерживать несколько членов ряда (2.65), а при применении метода Канторовича – Власова точность решения задачи зависит от выбора функции в выражении (2.67). Изложенные выше методы в основном направлены на математическую сторону проблемы, а именно: при применении методов Ритца и Бубнова–Галеркина исходное уравнение в частных производных заменяется системой алгебраических уравнений n-ого (бесконечного) порядка; при применении же метода Канторовича – Власова оно заменяется дифференциальным уравнением четвертого порядка. С точки зрения механики возникает проблема: изгиб пластины привести к изгибу балки. Предлагаемый метод, изложенный ниже, посвящен именно этой проблеме. Механический смысл этого метода заключается в том, чтобы заменить цилиндрическую жесткость рассчитываемой пластины обобщенной жесткостью заменяемой балки. С этой целью представим функцию прогибов в виде: , , (2.69) где - безразмерная функция, подлежащая определению; - функция прогибов для балки. Учитывая (2.69), запишем: ü внутренние усилия (2.59): , , , (2.70) , ; ü разрешающее уравнение (2.61): . (2.71) Введем интегральные характеристики для усилий и внешней нагрузки: , , , (2.72) , , где интегральные характеристики функции вычисляются по следующим формулам: , , , , (2.73) . Умножив (2.60) на и после интегрирования полученного выражения, с учетом (2.72) имеем уравнение равновесия в усилиях для обобщенной балки: . (2.74) Умножив (2.71) на и интегрируя полученное выражение в пределах от до или подставляя в (2.74) значения усилий по (2.72), имеем разрешающее уравнение для определения балочной функции : , (2.75) которое по форме совпадает с уравнением метода Канторовича – Власова (2.68). Учитывая уравнения переходных процессов, описывающих функцией : , , , (2.76) где , , - представляют собой собственные значения, представим (2.75) в форме уравнения изгиба обобщенной балки: , . (2.77) Здесь - обобщенная жесткость балки, зависящая от собственных значений и . На основании (2.76) внутренние усилия балки (2.72) представляются следующим образом: , , (2.78) , . Для определения жесткостных характеристик , , поступаем следующим образом. Представим функцию прогибов обобщенной балки в виде: , , (2.79) где - безразмерная функция прогибов; - максимальный прогиб балки. Учитывая (2.79), находим собственные значения уравнений (2.76): , , , (2.80) где параметры вычисляются по (2.73) с заменой на , на . Обобщенные жесткости (2.77) и (2.78) с учетом (2.80) представляются следующим образом: , (2.81) , . Подставив (2.79) в (2.77) и умножив его на и после интегрирования, получим максимальный прогиб балки: , (2.82) . Внося (2.79) в (2.77) и преобразуя его, получим разрешающее уравнение для функции : , , , (2.83) где - безразмерная интенсивность внешней нагрузки пластины по оси . Аналогичным образом, получим уравнение для определения функции : , (2.84) где - безразмерная интенсивность нагрузки пластины по оси . Внося (2.79) в (2.78), имеем внутренние усилия, выраженные через функцию : , (2.85) Произвольные постоянные, входящие в решение уравнения (2.83), находятся из следующих условий для края : А) при шарнирном опирании концов: , ; (2.86) Б) при защемленных концах: , ; (2.87) В) при свободных концах: , . (2.88) Для того чтобы сформулировать граничные условия для уравнения (2.84), запишем внутренние усилия пластины (2.59) на продольных сторонах с учетом (2.69), (2.79) и (2.80) в виде: , (2.89) . Теперь произвольные постоянные, входящие в решение уравнения (2.84), можно определить из следующих условий для края : А) при шарнирном опирании концов: , или , ; (2.90) Б) при защемленных концах: , или , ; (2.91) В) при свободных концах: , или , . (2.92) После расчета балки (определения функции ) легко можно рассчитать пластину, представляя функцию прогибов в виде: . (2.93) Порядок расчета пластины по предложенному методу рассмотрим на примере расчета квадратной пластины шарнирно опертой по контуру загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью . В этом случае безразмерные интенсивности нагрузки по условию расчета равны: , . (2.94) Основные функции, являющиеся решениями уравнений (2.83) и (2.84), удовлетворяющие граничным условиям (2.86) и (2.90), имеют вид: , . (2.95) Их интегральные характеристики согласно (2.73) принимают значения , , (2.96) , . Интенсивность внешней нагрузки согласно (2.82) равна: . (2.97) Внося (2.96) и (2.97) в (2.82), находим максимальный прогиб балки: . (2.98) Данное решение полностью совпадает с решением, полученным методом разделения переменных [2]. Учитывая (2.98), по (2.79) находим функцию прогибов для балки и по (2.93) функцию прогибов для пластины. Таким образом, предложенный метод по сравнению с другими аналитическими методами позволяет получить решение в простых полиномах и свести задачу изгиба пластины к задаче изгиба балки с обобщенной жесткостью, зависящей от формы изгиба. Сопоставление результатов расчета с имеющимися решениями указывает на правильность полученных формул.
Список литературы 1. Тимошенко С.П., Войновский–Кригер С. Пластинки и оболочки. Пер. с англ. Под ред. Г.С. Шапиро. М., Физматгиз, 1963. 635 с. 2. К.А.Д. Турсунов. Основы расчета прямоугольных пластин. – Караганда: КарГУ, 2001. – 72 с.
|