Условия на контуре пластинки

В зависимости от закрепления краев на контуре пластинки могут быть заданы прогибы и углы поворота срединной плоскости, изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы. Условия, при которых на контуре задаются перемещения, т. е. прогибы или углы поворота срединной плоскости, называются геометрическими. Условия, при которых на контуре задаются изгибающие или крутящие моменты и поперечные силы, называются статическими. Если же одновременно заданы и перемещения, и усилия, то условия называются смешанными.

Рис. 1.6

Сформулируем граничные условия для различных случаев закрепления краев прямоугольной пластинки (рис. 1.6).

Защемленный край OA. В защемлении отсутствуют прогибы, а также невозможен поворот краевого сечения относительно оси x. В связи с этим имеем следующие условия: при y = 0: w =0, .

Шарнирно опертые края OC и AB. Здесь прогибы и изгибающие моменты равны нулю, т. е. w= 0 и M_x= 0. Выразив изгибающий момент через прогибы пластинки согласно формулам (1.11), последнее условие представим так:

Однако при x = const и w = 0 вторая производная . Следовательно, граничные условия на шарнирно опертых краях OC и AB принимают вид

при x= 0 и x=a w= 0, .

Свободный край CB. Здесь должны обращаться в нуль изгибающий момент M_y, поперечная сила Q_y и крутящий момент H, т. е. вместо необходимых двух условий появляются три. Такое противоречие связано с тем, что задача решается приближенно и поэтому всем граничным условиям точно удовлетворить нельзя. Однако противоречие можно устранить, объединив два последних условия.

Рис. 1.7

Крутящий момент и поперечную силу на контуре пластинки можно заменить одной силой, статически им эквивалентной. Рассмотрим крутящий момент H, распределенный вдоль грани CB, параллельной оси x (рис. 1.7, а). На длине dx действует крутящий момент, равный Hdx. Его можно представить в виде двух вертикальных противоположно направленных сил H с плечом dx (рис. 1.7, б). На бесконечно малом удалении dx крутящий момент получит приращение и будет равен . Его также можно представить в виде двух вертикальных противоположно направленных сил с тем же плечом dx. Подобную замену крутящих моментов вертикальными силами можно осуществить по всей длине грани CB. На границе каждого бесконечно малого участка dx, за исключением крайних точек C и B, будет приложено по две противоположно направленные силы, разность между которыми равна . Следовательно, вдоль грани будет действовать вертикальная распределенная по ее длине нагрузка интенсивностью (рис. 1.7, в). В точках же C и B возникнут сосредоточенные силы H_C и H_B. Полученную вертикальную нагрузку можно объединить с поперечной силой Q_y и считать, что на грани CB действует приведенная поперечная сила интенсивностью

(1.20)

Аналогично, вдоль граней контура пластинки, параллельных оси y, будет действовать приведенная поперечная сила интенсивностью

(1.21)

Производные крутящего момента по x и y найдем дифференцированием функции (1.13):

(а)

Подставив значения поперечных сил (1.12) и производных крутящего момента (а) в формулы (1.20) и (1.21) получим

(1.23)

Таким образом, на каждой грани пластинки вместо трех усилий: изгибающего момента, крутящего момента и поперечной силы, - можно рассматривать только два: изгибающий момент и приведенную поперечную силу. Следовательно, на свободной от закрепления грани вместо трех упомянутых условий можно потребовать удовлетворения лишь двух:

(б)

При этом граничные условия будут удовлетворяться приближенно. Но на основании принципа Сен-Ванана замена поперечной силы и крутящего момента статически им эквивалентной приведенной поперечной силой вызовет лишь местные напряжения вблизи рассматриваемого края пластинки.

Внесем в условия (б) выражения изгибающего момента M_y (1.11) и приведенной поперечной силы (1.23). Тогда на свободной грани CB, т. е. при y=b,