И бесконечной полосы на упругом основании

Рассмотрим прямоугольную пластинку, лежащую на сплошном упругом основании и находящуюся под действием поперечной нагрузки интенсивностью q (x, y) (рис. 1. 10). Снизу к пластинке приложены силы реактивного давления упругого основания, представляющего собой неизвестную функцию координат p (x, y).

Рис. 1.10.

Расчет базируется на гипотезах Кирхгофа. Кроме того, существует непрерывный контакт между пластинкой и основанием, а силы трения и сцепления между пластинкой и поверхностью упругого основания отсутствуют. При таких допущениях уравнение (1.19) принимает следующий вид:

(а)

Значение реактивного давления на пластинку зависит от перемещения точек основания. В настоящее время существует целый ряд гипотез о связи между функциями p (x, y) и w (x,y). Наиболее простой является гипотеза немецкого ученого Э. Винклера о пропорциональности реактивного давления прогибам в соответствующих точках:

p (x, y) = kw (x, y).

Она получила большое распространение благодаря своей простоте, но имеет ряд серьезных недостатков и не всегда приводит к правильным результатам.

Подходя к задаче с позиций теории упругости, основание можно рассматривать как упругое полупространство, а в случае плоской задачи – как упругую полуплоскость.

Чтобы установить зависимость между p (x, y) и w (x,y), воспользуемся решением задачи о действии давления p (x, y) на поверхность упругого полупространства. В случае непрерывного распределения давления по нагруженной площади F вертикальные перемещения точек поверхности упругого полупространства определяются следующей зависимостью:

(б)

где ξ и η – координаты центра бесконечно малой нагруженной площади и dξdη.

Решение задачи об отыскании функции прогибов w (x, y) сводится к решению системы двух-интегрального (а) и дифференциального (б) – уравнений с удовлетворением условий на контуре пластинки. Дальнейший ход расчета связан с вычислением напряжений и деформаций по формулам (1.9) и (1.8).

Примером бесконечной полосы на упругом основании может служить ленточный фундамент. Если нагрузка вдоль фундамента постоянна, то он находится в условиях плоской деформации.

Для такой полоски дифференциальное уравнение прогибов (а) принимает вид

(в)

Зависимость (б) между прогибами и реактивным давлением преобразуется к следующей:

(г)

Сюда входят упругие постоянные так как рассматривается плоская деформация.

Таким образом, задача об отыскании прогибов бесконечной полосы на упругом основании сведена к решению системы двух интегро-дифференциальных уравнений (в) и (г).

Решения систем уравнений (а), (б) и (в), (г) получены главным образом в трудах советских ученых. На основании этих решений составлены подробные таблицы для расчета пластинок на упругом основании.