Перемещения и деформации в пластинке

Основные понятия пластинки.

Пластинка – это призматическое либо цилиндрическое тело. Ее толщина мала в сравнении с размерами и обозначается h (Рис.1.1).

Рис.1.1

Плоскость, которая разделяет пластинку пополам по толщине, именуют срединной. Линия пересечения боковой поверхности пластинки со срединной плоскостью называется контуром пластинки.
Для того чтоб изучить деформацию пластинки, расположим прямоугольную систему так, чтобы координатная плоскость xOy совпала со срединной плоскостью, а ось z будет направлена вниз.

При. таком выборе системы координат элемент перемещения w в направленности оси z будет представлять собой прогиб пластинки. Положение начала координат в срединной плоскости станем выбирать в каждом рассматриваемом случае в зависимости от очертания контура пластинки и характера закрепления её краев.

Пластинки широко используют в строительной сфере в качестве настилов, панелей, железобетонных плит для покрытия зданий и т.д. Схемой плит, применяемых в строительстве, для произведения расчетов является тонкая пластинка. Тонкими пластинками называют пластинки, которые имеют отношение толщины к наименьшему размеру в плане h/b примерно в пределах 1/5-1/80 и величину прогибов не более h/4.

Для того чтобы рассчитать пластинки, у которых h/b больше 1/3, используют метод теории толстых пластин. Пластинки, чьи прогибы более 1/4h, - по теории гибких пластинок, или мембран.

Тонкие пластинки в основном рассчитывают по технической теории изгиба пластинок, основанная на гипотезах, предложенных немецким физиком Г. Кирхгофом.

Гипотеза прямых нормалей: всякий прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформирования пластинки.

γ_yz =0;

γ_zx=0. (1.1)

Данная гипотеза предполагает, что линейная деформация в направлении оси z отсутсвует:

e_z = 0 (1.2)

Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: в срединной плоскости отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига, т.е. она является нейтральной и ее перемещения

u₀ = υ₀ = 0. (1.3)

Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости. Гипотеза позволяет пренебрегать напряжением ввиду малости по сравнению с напряжениями и .

Перемещения и деформации в пластинке.

Начнем изучение изгиба пластинки с определения деформаций и перемещений. Исследуем пластинку, несущую нормальную нагрузку к срединной плоскости пластинки, т.е. поперечную нагрузку. Под действием такой нагрузки пластинка испытывает перемещения. Для того чтобы их определить воспоьзуемся принятыми ранее гипотезами. Подставляя условие (1.2) в формулу геометрических соотношений Коши

получим

отсюда следует, что прогибы пластинки ω не зависят от координаты z:

ω = ω (x, y).

Рассматривая условия для сдвигов (1.1), из формул

(1.4)

получим

Отсюда найдем производные составляющих перемещения u и υ:

Проинтегрировав эти уравнения по z, получим

(а)

Для вычисления функций f₁(x,y) и f_ә(x,y), появившихся при интегрировании уравнений в частных производных, воспользуемся гипотезой о недеформируемости срединной плоскости. Подставив условия (1.3) в формулы (а) при z=0, получим:

Тогда формулы (а) принимают вид

(1.5)

Таким образом, составляющие перемещения точек пластинки в направлениях осей x и y выражены через функцию прогибов срединной плоскости пластинки.

Составляющие деформации пластинки, отличные от нуля, найдем с помощью формул (1.4), подставив в них значения составляющих перемещения (1.5) получим

(1.6)

Здесь составляющие деформации, так же как и составляющие перемещения в соотношениях (1.5), выражены через одну функцию прогибов срединной плоскости пластинки.