Свойства преобразования Лапласа

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и —аналитическая функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
2. : преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для ;
3. или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производнаяот ) для .

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение —аналитическая функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
2. Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

• Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

• Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

где —функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, если все полюсы функции находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• Другие свойства

Линейность:

Умножение на число: