Идентифицируемые модели

В основе всех ныне весьма многочисленных методов идентификации или опытного отождествления модели с объектом-оригиналом, лежит идея мысленного эксперимента с «черным ящиком» (Н. Винер). В предельном (теоретическом) случае «черный ящик» представляет собой некую систему, о структуре и внутренних свойствах которой неизвестно решительно ничего. Зато входы, т.е. внешние факторы, воздействующие на этот объект, и выходы, представляющие собой реакции на входные воздействия, доступны для наблюдений (измерений) в течение неограниченного времени. Задача заключается в том, чтобы по наблюдаемым данным о входах и выходах выявить внутренние свойства объекта или, иными словами, построить модель. Решение задачи допускает применение двух стратегий:

Осуществляется активный эксперимент. На вход подаются специальные сформированные тестовые сигналы, характер и последовательность которых определена заранее разработанным планом. Преимущество: за счет оптимального планирования эксперимента необходимая информация о свойствах и характеристиках объекта получается при минимальном объеме первичных экспериментальных данных и соответственно при минимальной трудоемкости опытных работ. Но цена за это достаточно высока: объект выводится из его естественного состояния (или режима функционирования), что не всегда возможно.

Осуществляется пассивный э ксперимент. Объект функционирует в своем естественном режиме, но при этом организуются систематические измерения и регистрация значений его входных и выходных переменных. Информацию получают ту же, но необходимый объем данных существенно, на 2-3 порядка больше, чем в первом случае. На практике при построении идентифицируемых моделей часто целесообразна смешанная стратегия эксперимента. По тем входным переменным конкретного объекта, которые это допускают (по условиям безопасности, техническим, экономическим соображениям и пр.), проводится активный эксперимент. Его результаты дополняют данными пассивного эксперимента, охватывающего все прочие значимые переменные. «Черный ящик» - теоретически граничный случай. На деле есть объем исходной информации. На практике приходится иметь дело с «серым», отчасти прозрачным ящиком. Поэтому различают три основных класса постановки задачи идентификации объекта:

1. Для сложных и слабо изученных объектов системного характера достоверные исходные данные о внутренних свойствах и структурных особенностях исчезающе малы, почти отсутствуют. Поэтому задача идентификации, казалось бы, должна включать в себя с одной стороны, определение зависимостей, связывающих входы и выходы (обобщенного оператора), с другой определение внутренней структуры объекта. В такой постановке задача не разрешима даже теоретически. Непосредственным результатом идентификации является только определение зависимостей входы-выходы, причем не в параметрической форме – в виде таблиц или кривых. Для того, чтобы говорить о структуре модели, необходимо перейти к параметрической форме их представлений. Однако, как известно, однозначной связи между функциональной зависимостью и порождающей эту зависимость математической структурой не существует. Каждую непараметрическую зависимость вход-выход можно аппроксимировать различными способами и соответственно построить ряд практически равноценных моделей, характеризующихся собственной структурой, собственным набором параметров и их значений. Основанием для предпочтения той или иной параметрической модели могут быть только данные, внешние по отношению к процессу идентификации, например, основанные на теоретических соображениях. Если таких данных нет, то в рассматриваемой ситуации мы получаем чисто функциональную или имитационную модель, которая воспроизводит с тем или иным приближением характеристики объекта.
2. Второй класс задач идентификации характеризуется тем, что априорные данные о структуре моделируемого объекта, в принципе имеются. Однако, какой вклад в характеристики объекта или его модели вносит тот или иной компонент, заранее не известно и это надлежит определить на основе эксперимента наряду со значением соответствующих параметров. Типичный пример – исследование влияния на характеристики динамической системы, описанной в классе стационарных линейных моделей, старших членов соответствующих дифференциальных уравнений ради того, чтобы исключить малые, практически незначимые переменные, и снизив порядок уравнений, упростить модель. Задачи этого класса, связанные с уточнением структуры и оценивания параметров, часто встречаются на практике и характерны для объектов и процессов средней сложности, в частности технологических.

3. Третий класс задач связан с относительно простыми и хорошо изученными объектами, структура которых известна точно и речь идет только о том, чтобы по экспериментальным данным оценить значения всех или некоторых входящих в исследуемую структуру параметров (параметрическая идентификация). Очевидно, что модели данного класса тесно смыкаются с требующими экспериментального доопределения аналитическими моделями и четкой границы между ними не существует. Это наиболее массовый класс задач.
Независимо от характера решаемой на основе идентификации задачи, построение модели базируется на результатах измерений соответствующих величин переменных. С этим связаны два существенных обстоятельства:
Во-первых, эксперимент должен быть обеспечен необходимыми средствами измерения надлежащей точности (датчики, измерительные преобразователи, средства регистрации).

Во-вторых, измерительный комплекс со всеми его компонентами требует метрологического обеспечения, т.е. градуировки, аттестации и периодичности проверки.

Реальные свойства подавляющего большинства сложных объектов, а также неизбежные случайные погрешности измерений, лежащих в основе идентификации, придают последней статистический характер, что влечет за собой необходимость получения больших объемов первичных экспериментальных данных с их последующей обработкой. Поэтому на практике построение моделей путем идентификации неизбежно связано с использованием информационно-вычислительной техники как при получении первичных данных (автоматизация эксперимента), так и для их обработки и использования.
Построение математических моделей по экспериментальным данным

Задача идентификации формулируется следующим образом. Пусть в результате каких либо экспериментов над объектом замерены его входные X=(х₁, х₂,…х_n) и выходные переменные Y=(y₁, y₂,…y_m) как функции времени. Требуется определить вид (структуру) и параметры некоторого оператора Â, ставящего в соответствие переменные X и Y.

В реальных условиях переменные и замеряются погрешностью и .Чаще всего эти погрешности считаются некоррелированными и аддитивными с полезной информацией, т.е. имеют вид

x_i=x_i^ист± (i=1,2…n)

y_j=y_j^ист± (j=1,2…m)

Различают задачи идентификации в широком (структурная идентификация) и узком смысле (параметрическая идентификация) соответственно. В первом случае неизвестна структура и параметры оператора Â, во втором – лишь параметры этого оператора.
Таким образом, задача идентификации модели тесно связана с проведением эксперимента и обработкой экспериментальных зависимостей.
Задача параметрической идентификации сводится к отысканию таких оценок параметров математической модели Â, которые обеспечивают в каком либо смысле близость расчетных и экспериментальных значений выходных переменных при одинаковых входных . Отметим, что в общем случае необходимы измерения «m» компонент вектора , которые могут производиться при «к» повторениях эксперимента при «l» дискретных отметках времени (если идентифицируемый объект функционирует во времени). В качестве критериев количественной меры близости модели и оригинала чаще всего используются максимальные δ_у, средние m_у и среднеквадратичные δ_у величины погрешностей рассогласования расчетных и экспериментальных значений у_рi и у_эi, соответственно.
Таким образом, задача параметрической идентификации сводится к минимизации одной из функций. Для минимизации могут быть использованы известные численные методы решения экстремальных задач.
Обилие существующих методов идентификации отражает разнообразие используемых математических моделей и методов их исследования. Очевидно, что идентифицировать модель детерминированного, линейного, стационарного процесса (модель считается стационарной, если её параметры либо постоянные, либо меняются медленно по сравнению со временем, необходимым для их идентификации) известной размерности, с одним входом – существенно проще, чем аналогичного стохастического процесса неизвестного порядка и степени стационарности.