Задача на охлаждение тел

Температура вынутого из печи хлеба в течение τ1 = 20 мин падает от t0 = 100 °C до t1 = 60 °C (рис. 4). Температура охлаждающего воздуха tс = 25 °C. Через какое время от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до tк = 30 °С?

Здесь график

Зависимость среднеобъемной температуры тела при его охлаждении

от времени процесса

Решение.

Скорость охлаждения тела представляет собой понижение температуры тела t = t(τ) в единицу времени и выражается производной. По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это процесс неравномерный. С изменением разности температур меняется и скорость охлаждения тела.

Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет = k (t – tc), (1)

где k – коэффициент пропорциональности, tc – температура среды.

Выражение (1) точнее следует называть не законом, а уравнением, формулой Ньютона, так как коэффициент k является сложной функцией многих переменных, он зависит от следующих факторов:

– скорости среды (жидкости, газа), обтекающей тело, ее плотности и вязкости, то есть переменных, определяющих режим течения жидкости;

– тепловых свойств жидкости (удельной теплоемкости, теплопроводности, коэффициента объемного расширения);

– тепловых свойств обтекаемого тела;

– геометрических параметров – формы и определяющих размеров, а также шероховатости поверхности тела.

Из этой сложной зависимости коэффициента пропорциональности k от многих параметров процесса следует, что простота уравнения (1) только кажущаяся. При его использовании трудности, связанные с определением количества тепла, передаваемого путем конвективного теплообмена, заключается в расчете величины k. В рассматриваемой задаче считаем коэффициент k постоянной величиной,которая должна быть задана непосредственно либо дополнительным

условием, из которого коэффициент k может быть определен. Уравнение (1) – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Оно аналогично дифференциальному уравнению, описывающему бесконечное замедление тела, движущегося в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Пусть τ – время охлаждения. Тогда, разделяя переменные, получим:

= k dτ. (2)

Интегрируя уравнение (2),

= k, (3)

получаем:

t= k τ +, (4)

где A – произвольная положительная постоянная.

Из (4) следует общее решение уравнения (2):

t – tс =. (5)

Постоянную A определяем из начального условия t(0) = t0:

A = t0 – tс. (6)

Коэффициент пропорциональности k определяем из данного в

задаче дополнительного условия:

при τ = τ1 t(τ1) = t1.

Получаем:

t1 – tс = (t0 – tс). (7)

Таким образом, получили зависимость температуры тела от заданных начальной его температуры и температуры окружающей среды, а также от длительности процесса охлаждения. Необходимо отметить, что в данном случае можно определить только усредненную по объему температуру тела, но невозможно найти, например, температуру в центре тела либо в какой-нибудь другой его точке.

Из закона изменения температуры находим искомое время τк, необходимое для охлаждения хлеба от начальной его температуры t0 до конечной tк:

τк = τ1 мин. Замечание: если считать охлаждение тела происходящим по линейному закону (прямая АВ на рис. 4), получим искомое время охлаждения, равное 35 минутам, что, очевидно, ошибочно и недопустимо.

Контрольные вопросы:

1. Почему коэффициент пропорциональности не может быть представлен аналитической функцией?

2. Каков физический смысл начального условия для температуры и как его находить?

3. Какие методы существуют для установления адекватности результатов моделирования?

Лекция 6. Методы реализации математических моделей с применением компьютера. Понятие вычислительного эксперимента.

План лекции:

1. Какие методы существуют для реализации математических моделей на компьютере?

2. Рассмотрение аналитических методов реализации математических моделей.

3. Рассмотрение численных методов реализации математических моделей.

Цель лекции: Формирование у магистрантов понятия адекватности результатов расчетов по математическим моделям.

Знания и умения, формируемые у магистранта: умение проводить вычислительный эксперимент и устанавливать адекватность численных результатов

Форма проведения лекции: обзорная лекция

Задача 1.

Рассмотрим задачу нахождения простейшего закона нагрева теплообменника при постоянном притоке теплоты.

Решение.

Пусть Т – температура наружной поверхности теплообменника;

dT – изменение температуры отопительного аппарата в течение времени dt;

m – масса аппарата;

с – удельная теплоемкость материала аппарата;

α – коэффициент теплоотдачи (теплообмена) от поверхности аппарата;

Q – количество теплоты, поступающей в теплообменник в единицу времени;

S – поверхность теплообмена (теплоотдачи) аппарата;

Т 1 – наружная температура (температура среды);

Т – Т 1 – превышение наружной температуры теплообменника над температурой среды.

Требуется найти закон Т (t).

В течение времени dt происходят следующие процессы:

а) в теплообменник поступает количество теплоты, равное Qdt;

б) количество теплоты в аппарате изменяется на величину, равную mcdТ;

в) отдается в окружающую среду количество теплоты, равное величине α S (T – T 1) dt.

Суммируя эти количества, получаем уравнение теплового баланса (применение закона сохранения энергии к тепловым процессам):

mcdТ + α S (T – T 1) dt = Qdt, (1)

или

T – T 1) = Q/mc. (2)

Полагая а = α S /(mc) и b = Q /(mc), получаем дифференциальное уравнение процесса (2) в следующем виде:

+ a (T – T 1) = b. (3)

Разделяем переменные, преобразуя при этом левую часть уравнения (3) так, чтобы в числителе получился дифференциал знаменателя:

- = dt. (4)

Интегрируя (4), получаем:

ln[ b- a (T- T 1)] -ln C 1=- at, (5)

где _С1 = соnst> 0, откуда следует

T – T 1 = + C ,

где С = – .

Используя начальное условие Т = Т₁ при t = 0, получаем

С = – b / а.

Тогда уравнение процесса примет вид:

T – T 1 = (1 – ), (6)

или, подставляя значения а и b, имеем:

T = T 1 + (1 – ). (7)

Рассмотрим этот закон ((7) или (6)).

При T T T₁ + b / а = Т_k, где Т_k – конечная температура теплообменника.

Уравнение (6) может быть записано в виде

T (t) = Т_k – . (8)

Если Т₁ = 0, то Т_k = b / а и (8) будет

T = T_k (1 –– ). (9)

Подставляя в уравнение (9) значение t = 1/ а = τ, которое называется постоянной времени, получим:

T = T_k (1 – ) = 0,63 T_k. (10)

Задача 2.

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна начальной его массе. Первоначальная масса фермента а в течение часа удвоилась. Во сколько раз она увеличится через 3 часа?

Решение.

По условию задачи дифференциальное уравнение процесса

= k x, (1)

где t – время, k – коэффициент пропорциональности.

(1) – уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение

x = C , (2)

где С = const> 0.

Из начального условия (при t = 0 = a) имеем C = а. Поэтому частное решение имеет вид

x = a . (3)

Коэффициент k определяется из дополнительного условия:

при t = 1ч x= 2 а.

При этих условиях из (3) следует k =

Таким образом, окончательно получаем закон, которому подчиняется данный процесс, в виде

x = a2 , (4)

где τ = .

Из (4) получаем требование задачи: при t = 3ч x= 8 а, т. е. спустя 3 часа от начала процесса масса фермента увеличится в 8 раз.

Задача 3 для самостоятельного решения. Пусть при постоянной температуре скорость растворения твердого тела в жидкости пропорциональна массе этого вещества, еще могущего раствориться до полного насыщения жидкости. Найти закон зависимости массы

растворившегося вещества от времени.

Ответ: = P (1 – ),

где – масса растворившегося вещества; Р – масса вещества, дающая насыщенный раствор; t – время; k – эмпирический коэффициент пропорциональности.

Контрольные вопросы:

1. Как можно находить коэффициент пропорциональности из начальных условий?

2. Какие законы физики использованы при выводе уравнения для температуры?

3. Как можно найти ошибки моделирования, если имеются экспериментальные данные по процессу?