Метод системного анализа. Структурные элементы потоков в пищевой инженерии

2. Основные этапы математического моделирования.

3. Натурный и вычислительный эксперимент в пищевой инженерии

Цель лекции: ознакомить магистрантов с классификацией объектов с точки зрения системного анализа

Знания и умения, формируемые у магистранта:

Форма проведения лекции: обзорная лекция

Математическое моделирование – явление достаточно сложное. Обычно говорят о процедуре составления модели и о том, в какой мере модели отражают реальную жизнь. Необходимо иметь в виду все стороны этого явления. Математические модели используются в конечном счете для прогноза развития процессов во времени, состояния, в котором будет находиться объект, его свойств, если выполняются определенные условия. Для того, чтобы получить этот прогноз практически, недостаточно составить модель. Необходимо разработать и реализовать процедуру вычисления интересующих нас характеристик изучаемого процесса, идентифицировать модель, т.е. определить содержащие в ней так называемые внешние величины (коэффициенты, параметры, факторы), убедиться, что модель адекватна, т.е. дает практически приемлемые прогнозы. Необходимо, наконец, давать этот прогноз в тех случаях, когда это требуется. Термин «технология математического моделирования» будет использоваться для обозначения совокупности всех перечисленных действий, необходимых для практического получения прогноза течения процесса или прогноза свойств объектов, - от составления математической модели до вычисления прогнозируемых величин.

Математическое моделирование часто начинается с необходимости прогнозирования развития некоторого процесса во времени. Акт математического моделирования начинается с введения системы величин, полностью (с точки зрения тех практических потребностей, которые вызвали необходимость получения прогноза) характеризующих процесс. Следующим шагом является запись соотношений (зависимостей, связей) между введенными величинами. Эти соотношения возникают в конечном счете из наблюдения, из опыта и являются результатом интуитивного осмысления существа процесса. Суть математического моделирования состоит в получении строгих, однозначно трактуемых соотношения между введенными характеристиками процесса путем пренебрежения тем, что в нем с точки зрения целей, которые ставятся при моделировании, можно считать неглавным, несущественным. Эти соотношения можно изучать чисто математическими средствами, т.е. извлекать из них формальные следствия, отвлекаясь от их содержательного смысла. Математика как раз и есть наука, в рамках которой разрабатываются способы получения разнообразных следствий строгих соотношений (зависимостей, связей) между некоторыми абстрактными характеристиками реальных процессов, явлений. Цена, которую приходится платить за саму возможность получать эти следствия, - пренебрежение чем-то в изучаемом процессе, лишение его «красок», лишь одному ему присущих черт, его «уникальности», т.е. переход от данного конкретного процесса к его абстрактной схеме. Гуманитарные науки и искусство, наоборот, изучают процессы и явления, интересуясь как раз их уникальностью, неповторимостью. Нетрудно заметить, что одно без другого существовать не может.
Процесс определения внешних величин модели называется ее идентификацией. Идентификация математических моделей – существенная часть технологии математического моделирования. Во многих случаях расходы на идентификацию превосходят (часто на порядок) все остальные расходы, связанные с использованием технологии математического моделирования для прогноза развития реальных процессов. Идентификация модели тесно связана с ее верификацией – установлением ее адекватности, т.е. соответствия ее результатов реальному течению прогнозируемого с ее помощью процесса. «Стандартный» способ идентификации состоит в том, что экспериментально измеряются внутренние величины модели (или некоторые их функции), а ее внешние величины подбираются так, чтобы прогноз, полученный с помощью модели с этими внешними величинами, в некотором смысле наименьшим образом отличался от экспериментальных измерений. Этот способ дает одновременно некоторое представление и об адекватности модели: если внешние величины удалось подобрать так, что отличие теоретического прогноза от экспериментальных измерений удовлетворительно с практической точки зрения, то это дает надежду на то, что модель окажется адекватной. Полную же уверенность в адекватности модели дает опыт ее эксплуатации: если в процессе эксплуатации модели не возникает очевидных противоречий между даваемым ее прогнозом и реальным положением дел, то модель считается адекватной. Модель, неадекватность которой выяснилась в процессе эксплуатации, либо подвергается коррекции, либо дополняется, либо вообще заменяется новой. Каждая модель адекватна в каких-то рамках, в каких-то пределах и при выходе за эти пределы должна корректироваться, дополняться либо заменяться новой.
Технология математического моделирования содержит следующие этапы: составление модели, идентификация и верификация модели, эксплуатация модели. Выполнение каждого этапа может вызвать возвращение на более ранние этапы: на каждом этапе может оказаться необходимым вносить коррективы в составленную модель, т.е. возвращаться в первому этапу, на этапе идентификации может оказаться необходимым вносить коррективы в алгоритм расчета внешних величин модели по внутренним величинам и т.д. Имея в виду это обстоятельство, будем говорить далее о технологических циклах математического моделирования.
Этап составления модели. Угадывание величин, характеризующий реальный процесс, как можно более консервативных, как можно более независимых от времени, расстояний, местоположений, других характеристик реальных процессов в пределах точности, приемлемой для практических целей. Постулирование некоторых инвариантностей, именуемых обычно законами. Инварианты, фигурирующие в математических моделях, являются их внешними величинами. Гипотезы об инвариантности определенных величин возникают из опыта, из измерений реальных величин, из обработки этих измерений. Математическое моделирование поэтому немыслимо без измерительной техники.
Этап разработки и реализации процедуры вычисления внутренних величин модели по ее внешним величинам. Первый вопрос, который здесь возникает: существует ли в принципе такая процедура. Для простых моделей ответ на этот вопрос часто бывает очевидным. Для более сложных моделей это является предметом специального математического анализа. Для многих типов моделей утверждения о том, что это имеет место, называются теоремами существования и единственности. Математические модели, для которых удалость доказать теорему существования и единственности, принято называть замкнутыми. После установления замкнутости модели необходимо разработать процедуру вычисления внутренних величин по внешним. Если эта процедура имеет вид аналитический формулы, то часто такую модель называют аналитической. Для тех замкнутых математических моделей, для которых аналитических формул, дающих внутренние величины, не существует (либо они существуют, но мы не сумели выявить этот факт) возникает проблема разработки численной процедуры, дающей значения внутренних величин и функций от них, которые нас интересуют, с заданной точностью. Эта проблема решается в рамках направления в математике, которое называется вычислительной математикой или численными методами. После этого необходимо составить программу на ЭВМ, реализующую эту численную процедуру.

Этап эксплуатации модели. Этот этап существенно зависит от предыдущего. Другими словами, этап эксплуатации зависит об объема информации, которая необходима для выполнения вычислений интересующих нас величин и от объема самих вычислений. В зависимости от этих объемов можно выделить три основные формы эксплуатации математических моделей, если под эксплуатацией понимать акты осуществления прогноза развития моделируемого процесса или прогноза его свойств путем реализации процедуры вычисления внутренних величин модели по известных внешним величинам. Первая форма – это аналитические расчетные формулы. Вторая форма эксплуатации моделей – программы на ЭВМ, рассчитывающие интересующие нас функции внутренних величин по задаваемым внешним величинам. Эти формы трактуются как основные. Кроме этих форм имеются различные их промежуточные варианты и комбинации. Третья форма эксплуатации моделей – это так называемые проблемно-ориентированные интерактивные системы. Интерактивные системы вместе с программой, реализующей расчеты интересующих величин, содержат также средства, позволяющие в диалоге с ЭВМ манипулировать внешними величинами, визуализировать и обрабатывать различным образом результаты расчетов. Интерактивные системы являются результатом соединения традиционной технологии математического моделирования с информационной технологией, возникшей на базе ЭВМ. Рассмотрим особенности двух основных классов моделей:

· аналитических,

· идентифицируемых.

Аналитические модели. Одним из главных результатов многовекового развития науки является познание и объяснение бесчисленного множества объективно существующих явлений и процессов, протекающих на разных уровнях живой и неживой природы. Компоненты теоретического арсенала современной науки – картины мира, теории, законы, принципы – все они от наиболее общих практически универсальных, таких как законы сохранения вещества и энергии, начала термодинамики, закон всемирного тяготения и других, до сугубо локальных, относящихся к узкому классу объектов или явлений, носят модельный характер. Таким образом в распоряжении исследователя, решающего на основе моделирования конкретную исследовательскую или прикладную задачу, сегодня находится огромное множество моделей-заготовок, которые, очевидно, могут и должны быть использованы. Наиболее благоприятной является ситуация, когда подлежащие описанию и исследованию свойства объекта удается представить непосредственно на основе ранее разработанных и практически достоверных модельных конструктов, являющихся элементами соответствующих областей теоретического знания (механики, термодинамики, электротехники и т.п.). В этом случае создаваемая конкретная модель должна быть охарактеризована как аналитическая (теоретическая). Она, как правило, не только описывает свойства и характеристики объекта, но вскрывает и в терминах соответствующих теорий выявляет сущность процессов, протекающих в исследуемом объекте. Все допущения и ограничения переносятся на модель. На практике теоретические модели выступают в двух основных ролях. Прежде всего, они образуют структурную основу и являются главным исходным материалом всех без исключения теоретических построений. Любая теория, относящаяся к сфере точных наук, есть не что иное, как система взаимосвязанных аналитических моделей, подчиненная регулятивным принципам и универсальным зависимостям более высокого уровня. В поисковых областях научного знания теоретические модели, предназначенные для объяснения и описания явлений, не укладывающихся в существующие теоретические представления, играют роль главного инструмента познания. В сложившихся областях научного знания, главным образом, прикладного характера, таких как теоретическая механика, теоретическая электротехника и др. аналитические модели, в большей или меньшей мере дополняемые обобщенными экспериментальными данными, носят типовой канонический характер, они являются важнейшей составной частью понятийного аппарата, специфического языка и профессионального мышления. Вместе с тем, модели этого класса являются основой для решения множества конкретных прикладных задач, в частности инженерно-технического характера, относящимся к хорошо изученным, не слишком сложным объектам и носящих типовой или рутинный характер. Расчет прочностных характеристик конструкций, расчеты параметров и характеристик электрических цепей. В каждом конкретном случае модель исследуемого явления строится с учетом специфики природы и свойств объекта. Вместе с тем можно указать и некоторые общие методы и приемы. В основе аналитических моделей, как правило, лежат так называемые балансовые соотношения, связывающие входные и выходные переменные или некоторые функционалы от этих переменных, имеющие смысл обобщенных сил, обобщенных потоков или координат. Типичные примеры: условие равновесия сил или моментов, действующих на некоторую механическую систему, равенство масс исходных и конечных продуктов некоторой химической реакции, равенство нулю суммы ЭДС и падений напряжений в электрической цепи и т.п. Все эти и прочие им подобные соотношения по существу представляют собой частные проявления законов сохранения вещества и энергии. К этой основе добавляется необходимая дополнительная информация, не вытекающая из этих соотношений, источником которой может быть либо специфическая для данного класса объектов теория, либо эксперимент. Возможности чисто теоретического решения вопроса уменьшаются с ростом сложности и новизны исследуемого объекта. Впрочем, опыт показывает, что нередко даже для широко используемых на практике и казалось бы, хорошо изученных объектов и процессов, например металлургических, чисто аналитическим путем построить удовлетворительную модель не удается и это побуждает исследователя к формированию модели преимущественно на экспериментальной основе, т.е. в классе идентифицируемых моделей.