Точечные оценки параметров распределения

Одной из центральных задач математической статистики является задача оценки теоретического распределения случайной величины на основе выборочных данных. При этом предполагается, что закон распределения генеральной совокупности известен, но не известны его параметры, такие, например, как математическое ожидание и дисперсия. Любое значение этих параметров, вычисленное на основании ограниченного количества опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Такое приближенное, случайное значение называют статистической оценкой.

Статистическая оценка должна удовлетворять следующим требованиям:

− состоятельность;

− несмещенность;

− эффективность.

Различают оценки точечные и интервальные.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Точечной оценкой математического ожидания служит выборочная средняя , которой называют среднее арифметическое значений выборки.

Если все значения выборки различны, то

Для статистического ряда:

(2.1.2)

Для интервального статистического ряда:

(2.1.3)

где − середина интервала; k − количество интервалов.

Для характеристики рассеивания выборочных значений относительно выборочного среднего, т.е. для оценки дисперсии, вводится понятие выборочной дисперсии.

Выборочной дисперсией D _в называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего.

Если все значения выборки различны, то

Если значения выборки имеют соответствующие частоты, то

Если выборка представлена интервальным статистическим рядом, то

Выборочным средним квадратичным отклонением называют арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии:

Нетрудно доказать, что выборочная средняя является несмещенной оценкой, а выборочная дисперсия D _в – смещенной оценкой. Чтобы «исправить» выборочную дисперсию, ее следует умножить на дробь

На практике используют более удобную формулу для вычисления несмещенной выборочной дисперсии для статистического ряда:

(2.1.4)

Для интервального статистического ряда:

(2.1.5)

Несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение:

(2.1.6)

Пример 6. Найти оценки параметров распределения (выборочную среднюю, несмещенную выборочную дисперсию и несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение) для статистического ряда (табл. 2.1.9):

Таблица 2.1.9

xi

Решение. Объем выборки n= 50. Находим выборочную среднюю по формуле (2.1.2):

Для вычисления несмещенной выборочной дисперсии используем формулу (2.1.4):

Несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение рассчитывается по формуле (2.1.6):

Пример 7. Найти оценки параметров распределения (выборочную среднюю, несмещенную выборочную дисперсию и несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение) для интервального статистического ряда (табл. 2.1.10):

Таблица 2.1.10

Границы интервалов	[0;4)	[4;8)	[8;12)	[12;16)	[16;20)	[20;24]

Решение. Объем выборки n= 9. Выборка разбита на шесть интервалов (k =6). Найдем середины интервалов и добавим их в табл. 2.1.10:

Границы интервалов	[0;4)	[4;8)	[8;12)	[12;16)	[16;20)	[20;24]
Середины интервалов

Оценку математического ожидания, выборочную среднюю, находим по формуле (2.1.3):

Оценка дисперсии, несмещенная выборочная дисперсия, определяется по формуле (2.1.5).

Несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение рассчитывается по формуле (2.1.6):