Гармонизм

Определение: Если (AB,CD) = - 1, то четверка точек A,B,C,D называется гармонической.

Рассмотрим гармоническую четверку точек (AB,CD) = -1.

По свойству (2) (CD, AB) = (AB,CD) = -1.

По свойству (3) (AB,DC) = = -1.

Вывод: При перестановке пар и/или точек в паре гармонизм не нарушается.

Теорема. Четвёрка точек A, B,C, D_∞ - гармоническая тогда и только тогда, когда точка C - середина AB. (третья точка – середина отрезка из первых двух).

Доказательство. C – середина AB (AB,C) = 1.

По свойству (6) (AB,CD_∞) = - (AB,C) = - 1 - гармоническая четвёрка. В обратную сторону докажите самостоятельно □

Построение гармонических четвёрок.

Задача 1. В пучке П(S) даны три прямые а, b, с. Построить прямую d такую, что (аb, сd) = -1.

Решение. Сложное отношение прямых пучка определяется сложным отношением точек пересечения этих прямых с какой-либо прямой не инцидентной пучку. Мы должны подобрать прямую таким образом, чтобы точки пересечения давали некоторый отрезок вместе с его серединой, тогда по теореме четвёртая гармоническая точка будет несобственной точкой. А значит, четвёртая гармоническая прямая в пучке будет параллельна подобранной прямой.

Построение:

1. На третьей прямой с выбираем М.

2. Через неё проводим прямые параллельные а и b. (АМ)|| b и (ВМ)|| а

3. А =(АМ)∩ а и В =(ВМ)∩ b.

4. С= (АВ) ∩ с.

5. Четырехугольник АSВМ – параллелограмм, по свойству параллелограмма точка пересечения диагоналей является серединой диагонали. Т.е. С середина АВ. По теореме

четвертая гармоническая точка будет

несобственной, т.е. D_∞.

6. Искомая прямая - d= (SD_∞).

Задача 2. В на прямой даны три точки A, B, C. Построить точку D такую, что (AB,CD) = -1.

Решение. Будем использовать предыдущую задачу Возьмем S ' (АВ).

Обозначим а= (АS '), b= (ВS), с= (СS '). Далее решение задачи 1.

Опишите последовательность построения самостоятельно.