Квадрики на проективной плоскости

Рассмотрим проективную плоскость над полем действительных чисел (т.е. координаты точек могут быть только действительными числами).

Определение: Множество точек на проективной плоскости Р₂ координаты которых в некотором репере удовлетворяют уравнению q _{i j} ∙х _i ∙х _j = 0 - называется квадрикой или кривой второго порядка (КВП).

В развернутом виде получим: q₁₁ ∙ х₁ ² + q₂₂ ∙ х₂ ² + q₃₃ ∙ х₃ ² + 2 ∙ q₁₂ ∙ х₁ ∙ х₂ + 2 ∙ q₁₃ ∙ х₁ ∙ х₃ + 2 ∙ q₂₃ ∙ х₂ ∙ х₃ =0 (*)

Замечание: В силу того, что уравнение квадрики – это однородное уравнение второго порядка, коэффициенты уравнения определяются с точностью до пропорциональности. Т.е. квадрика определена набором из шести чисел с точностью до пропорциональности и среди этих наборов нет нулевого набора (0: 0: 0: 0: 0: 0). (Почему?)

Определение: Матрица Q= -называется матрицей квадрики.

Замечание: Матрица Q является симметричной, Q=Q ^Т .

Уравнение (*) в матричном виде примет вид:

∙ ∙ =0 или Х ^Т ∙Q∙ Х =0 (проверьте).

Свойства квадрик:

1. Ранг матрицы квадрики инвариантен относительно линейного преобразования, задаваемого матрицей А: rang Q = rang (A^T∙Q∙A), так как det A ≠0.

2. Преобразованием координат можно привести квадрику к каноническому виду -

λ₁ ∙ x₁ ² + λ₂ ∙ x₂ ² + λ₃ ∙ x₃ ² =0, где λ_i - собственные значения матрицы Q.

Замечание: Эти свойства квадрик вытекают из свойств квадратичных форм.

Делая проективное преобразование , квадрику можно привести к виду:

ε₁ ∙ x₁ ² + ε₂ ∙ x₂ ² + ε₃ ∙ x₃ ² =0, где ε_i = - 1, 0, 1.

Т.е матрица примет вид - и её ранг равен числу ненулевых ε_i.