Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Принцип двойственности
Пусть на P2 фиксирован репер R (Е1 , Е2 , Е3 , Е), пусть даны какие-либо точка А и прямая и (и1: и2: и3). Рассмотрим отображение f: P2 → P2 такое, что точке в соответствие ставится прямая с такими же координатами, а прямой – точка: А → f (А) =а (а1: а2: а3) и и (и1: и2: и3) → f (и) = . Определение: Такое отображение называется корреляция. Свойства: 1. А≠В f (А) ≠ f (В) 2. f -1. Теорема. Корреляция сохраняет отношение принадлежности. Доказательство. Докажем, что А и f (и) f (А). Пусть А и прямая и (и1: и2: и3), т.е. и1 х1 + и2 х2 + и3 х3 = 0. Если А и и1 а1 + и2 а2 + и3 а3 = 0. f (А) =а (а1: а2: а3), значит а1 х1 + а2 х2 + а3 х3 = 0. f (и) = U и f (и) f (А) а1 и1 + а2 и2 + а3 и3 = 0. Очевидно, что эти условия одинаковы. □ Замечание: Таких отображений может быть много, они зависят от репера. Замечание: В дальнейшем вместо термина «принадлежность» будем применять термин «инцидентность». Примеры: «точка принадлежит прямой» ↔ «точка инцидентна прямой», или «прямая проходит через точку» ↔ «прямая инцидентна точке», или «две прямые пересекаются в одной точке» ↔ «две прямые инцидентны одной точке» Вывод: Точки и прямые ведут себя одинаково. Таким образом, можем сформулировать следующий принцип. Малый принцип двойственности: Пусть верно некоторое предложение, касающееся точек и прямых и отношения инцидентности на проективной плоскости Р2, тогда будет верным предложение в котором слово «точка» заменено на слово «прямая», слово «прямая» заменено на слово «точка», отношение инцидентности не меняется. Это принцип справедлив в силу свойств заданного выше отображения и теоремы. Вспомним свойства проективного пространства. · Через две точки проходит одна прямая - Двум точкам инцидентна одна прямая. · Две прямые пересекаются в одной точке - Двум прямым инцидентна одна точка. Такие предложения называются двойственными.
Двойственными могут быть фигуры на проективной плоскости. Определение: Фигура, состоящая из трёх различных точек, не лежащих на одной прямой и трёх прямых, проходящих через эти точки, называется т рёхвершинником. Точки называются вершинами, а прямые сторонами. Замечание: На расширенной евклидовой плоскости трёхвершинник может иметь несобственные точки. (Сколько?). Обозначение: ∆ АВС или ∆ МКN∞. Двойственной фигурой будет фигура, состоящая из трёх различных прямых не инцидентных одной точке и трёх точек не лежащих на одной прямой. Такую фигуру можно назвать трёхсторонником, но она состоит из тех же элементов что и трёхвершинник. Поэтому трёхвершинник считается фигурой, двойственной самой себе и термин «трехсторонник» обычно не применяют. Определение: Фигура, состоящая из четырёх различных точек, среди которых никакие три не лежат на одной прямой и шести прямых, проходящих через эти точки, называется четырёхвершинником. Замечание: На расширенной евклидовой плоскости четырёхвершинник может иметь несобственные точки. (Сколько?). Обозначение: АВСD, или МКNL∞ , или ХYZ∞T∞.
Рассмотрим четырёхвершинник АВСD. Точки А, В, С, D – вершины, прямые (АВ), (АС), (АD), (ВС), (ВD), (СD) - стороны. Определение: Стороны, не имеющие общих вершин, называются противоположными: (АВ) и (СD), (АС) и (ВD), (АD) и (ВС) – пары противоположных сторон. Определение: Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками Определение: Трёхвершинник, составленный из диагональных точек называется диагональным трёхвершинником, а его стороны называются диагоналями.
Например, четырёхвершинник АВСD (АВ)∩(СD)= Р, (АС)∩(ВD)= Q, (АD)∩(ВС)= R, ∆ PQR - диагональный трёхвершинник, а прямые (PQ), (PR), (QR) – диагонали. Четырехвершинники МКNL∞ и ХYZ∞T∞: Двойственной фигурой будет фигура, состоящая из четырёх различных прямых среди которых никакие три не инцидентны одному пучку и шести точек пересечения этих прямых. Такую фигуру называют четырёхсторонником.
Обозначение: abcd или mnpl∞
|