Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Принцип двойственности





 

Пусть на P2 фиксирован репер R(Е1 , Е2 , Е3 , Е), пусть даны какие-либо точка А и прямая и (и1 : и2 : и3).

Рассмотрим отображение f : P2 → P2 такое, что точке в соответствие ставится прямая с такими же координатами, а прямой – точка:

А → f (А) ( а1 : а2 : а3) и и( и1 : и2 : и3) → f (и) = .

Определение: Такое отображение называется корреляция.

Свойства:

1. А≠В f (А) ≠ f (В)

2. f -1.

Теорема. Корреляция сохраняет отношение принадлежности.

Доказательство. Докажем, что А и f (и) f (А).

Пусть А и прямая и ( и1 : и2 : и3), т.е. и1 х1 + и2 х2 + и3 х3 = 0.

Если А и и1 а1 + и2 а2 + и3 а3 = 0.

f (А) ( а1 : а2 : а3), значит а1 х1 + а2 х2 + а3 х3 = 0.

f (и) = U и f (и) f (А) а1 и1 + а2 и2 + а3 и3 = 0.

Очевидно, что эти условия одинаковы. □

Замечание: Таких отображений может быть много, они зависят от репера.

Замечание: В дальнейшем вместо термина «принадлежность» будем применять термин «инцидентность».

Примеры: «точка принадлежит прямой» ↔ «точка инцидентна прямой»,

или «прямая проходит через точку» ↔ «прямая инцидентна точке»,

или «две прямые пересекаются в одной точке» ↔ «две прямые инцидентны одной точке»

Вывод: Точки и прямые ведут себя одинаково.

Таким образом, можем сформулировать следующий принцип.

Малый принцип двойственности: Пусть верно некоторое предложение, касающееся точек и прямых и отношения инцидентности на проективной плоскости Р2 , тогда будет верным предложение в котором слово «точка» заменено на слово «прямая», слово «прямая» заменено на слово «точка», отношение инцидентности не меняется.

Это принцип справедлив в силу свойств заданного выше отображения и теоремы. Вспомним свойства проективного пространства.

· Через две точки проходит одна прямая - Двум точкам инцидентна одна прямая.

· Две прямые пересекаются в одной точке - Двум прямым инцидентна одна точка.

Такие предложения называются двойственными.

 

Двойственными могут быть фигуры на проективной плоскости.



Определение: Фигура, состоящая из трёх различных точек, не лежащих на одной прямой и трёх прямых, проходящих через эти точки, называется трёхвершинником. Точки называются вершинами, а прямые сторонами.

Замечание: На расширенной евклидовой плоскости трёхвершинник может иметь несобственные точки. (Сколько?).

Обозначение:АВС или ∆МКN .

Двойственной фигурой будет фигура, состоящая из трёх различных прямых не инцидентных одной точке и трёх точек не лежащих на одной прямой. Такую фигуру можно назвать трёхсторонником, но она состоит из тех же элементов что и трёхвершинник. Поэтому трёхвершинник считается фигурой, двойственной самой себе и термин «трехсторонник» обычно не применяют.

Определение: Фигура, состоящая из четырёх различных точек, среди которых никакие три не лежат на одной прямой и шести прямых, проходящих через эти точки, называется четырёхвершинником.

Замечание: На расширенной евклидовой плоскости четырёхвершинник может иметь несобственные точки. (Сколько?).

Обозначение: АВСD, или МКNL, или ХYZT .

 

Рассмотрим четырёхвершинник АВСD. Точки А, В, С, D – вершины, прямые (АВ), (АС), (АD), (ВС), (ВD), (СD) - стороны.

Определение: Стороны, не имеющие общих вершин, называются противоположными:

(АВ) и (СD), (АС) и (ВD), (АD) и (ВС) – пары противоположных сторон.

Определение: Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками

Определение: Трёхвершинник, составленный из диагональных точек называется диагональным трёхвершинником, а его стороны называются диагоналями.

Например, четырёхвершинник АВСD

(АВ)∩(СD)=Р,

(АС)∩(ВD)=Q,

(АD)∩(ВС)=R,

PQR - диагональный трёхвершинник, а прямые (PQ), (PR), (QR) – диагонали.

Четырехвершинники МКNL и ХYZT :

Двойственной фигурой будет фигура, состоящая из четырёх различных прямых среди которых никакие три не инцидентны одному пучку и шести точек пересечения этих прямых. Такую фигуру называют четырёхсторонником.

Обозначение: abcd или mnpl






Date: 2015-12-12; view: 190; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.009 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию