Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Преобразование координат
Рассмотрим проективную прямую Р1 и два репера R (Е1 ,Е2 ,Е) и R′ (Е′1 ,Е′2 , Е′). Пусть известны координаты точек второго репера в первом репере: Е′1 , Е′2 , Е′ , т.е. ē′1 = α 11 ē1+ α 21 ē2, ē′2 = α 12 ē1 + α 22 ē2, ē′ = α 10 ē1 + α 20 ē2. В общем случае репер R′ (Е′1 ,Е′2 ,Е′) может оказаться не согласованным (ē′1+ ē′2 ≠ ē′). Согласуем точки второго репера, т.е. найдем такие числа k1 и k2, что ē′ = k1ē′1 + k2ē′2, для этого необходимо решить систему: . Пусть матрица системы А , тогда ∆ А ≠ 0 (почему?). Система имеет единственное решение (k1, k2) и тогда будем считать координатами точек Е′1 и Е′2 , репер в этом случае будет согласованным. Замечание: В дальнейшем будем считать, что второй репер – согласован (если нет, то мы знаем, как его согласовать). Пусть точка Х в репере R и та же точка в репере R′ имеет координаты . Тогда вектор , порождающий эту точку может выражаться через вектора первого и второго базисов: = х1 ∙ē1 + х2 ∙ē2 или = у1∙ē′1 + у2∙ē′2 = у1∙ē′1 + у2∙ē′2 = у1∙ (α 11∙ē1 + α 21∙ē2) + у2∙ (α 12∙ē1 + α 22∙ē2) = =(у1∙ α 11+ у2∙ α 12)∙ ē1+ (у1∙ α 21+ у2∙ α 22)∙ ē2 = х1∙ē1+ х2∙ē2 х1 = у1∙ α 11 + у2∙ α 12 и х2 = у1∙ α 21 + у2∙ α 22, или = ∙ , в матричной записи: ХR = A ∙XR′, где ХR - столбец координат точки Х в первом (старом) репере, а XR′ - столбец координат той же самой точки Х во втором (новом) репере. Матрица А будет матрицей перехода от старого репера к новому реперу. Замечание: Матрица А является невырожденной. (Почему?). Вывод: Зная матрицу перехода и координаты точки в новом репере можно находить координаты точки в старом репере: ХR = A ∙XR′ │∙ А-1 слева А-1 ∙ ХR = А-1 ∙ A ∙XR′ = XR′ XR′ = А-1 ∙ ХR. Вывод: Формулы преобразования координат точек при переходе к другому реперу имеют вид: λ ХR = A ∙ XR′ и μ XR′ = А-1 ∙ ХR.
Аналогичные рассуждения можно применить для Р2, Пусть Е'1 , Е'2 , Е'3 , Е' . Для согласования второго репера будем находить k1, k2, k3. Получим матрицу третьего порядка А. Формулы преобразования координат точек будут такими же: λ ХR = A ∙ XR′ и μ XR′ = А-1 ∙ ХR.
Рассмотрим прямую и∙Х= 0. Пусть её координаты в старом репере - иR и в новом - uR′. Уравнение прямой в старом репере иR ∙ХR= 0, в новом иR′ ∙ХR′= 0. Подставим формулы преобразования координат, получим 0 = иR ∙ ХR = иR ∙ A ∙ XR′ = иR′ ∙ ХR ′, где иR ∙ A = иR′ или λ иR′= иR ∙ A, тогда μ иR = иR′ ∙ A-1. Вывод: Формулы преобразования координат точек и прямых на проективной плоскости имеют вид: Для точек λ ХR = A ∙ XR′ и μ XR′ = A -1 ∙ ХR. Для прямых λ иR′= иR ∙ A и μ иR = иR′ ∙ A -1. Замечание: Обратите внимание на умножение матриц: для точек матрица перехода умножается слева, а для прямых справа. Задача. Даны два репера R (Е1 , Е2 , Е3 , Е) и R′ (Е′1 , Е′2 , Е′3 , Е′). Известны координаты точек второго репера в первом: Е′1 , Е′2 , Е′3 , Е′ . Найти формулы преобразования координат при переходе от одного репера к другому. Найти координаты точки М во втором репере если известны её координаты в первом МR . Найти координаты точки К в первом репере если известны её координаты во втором КR ′ . Найти уравнение прямой а: 5 х1 - 2 х2+ 3 х3 = 0 в новом репере. Решение. Проверим, согласованы ли точки второго репера: + + = ≠ - второй репер не согласован. Согласуем его, для этого решим систему , её решением будет: k1 = 2, k2 = 2, k3 = -1, тогда матрица перехода будет A , обратной является A-1= = . Так как координаты определяются с точностью до пропорциональности коэффициент можно отбросить. Формулы преобразования координат примут вид: λ ХR= ∙ XR′ и μ XR′ = ∙ ХR. μ МR′ = A -1 ∙ МR = ∙ = . λ КR= A ∙ КR′ = ∙ = , с учетом пропорциональности координаты точки К в старом репере будут . λ аR′= аR ∙ A = ∙ = , с учетом пропорциональности координаты прямой будут аR′: 10 х′1 + 9 х′2 = 0
|