Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона

Каждой обобщенной координате соответствует обобщенный импульс:

Рассмотрим функцию :

перейдем от к

Здесь - функция переменных и . - отсюда находим . Это и есть преобразование Лежандра.

Рассмотрим функцию Лагранжа . От и перейдем к и :

- обобщенный импульс

используя уравнение Лагранжа , получим:

Мы перешли к переменным , , . По определению:

- функция Гамильтона.

Выразим через и . Из получаем . Запишем :

Сравнивая два этих выражения, получаем:

Это уравнения движения Гамильтона, их так же называют каноническими. Их штук. В отличие от дифференциальных уравнений Лагранжа, которые были 2-го порядка, эти дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения уравнений надо задать начальных условий, или динамических переменных в какой-то момент времени: и . и - динамические переменные в методе Гамильтона.

Обратимся к равенству . Величины и называют канонически сопряжёнными величинами (по Гамильтону). Канонические преобразования в методе Гамильтона служат для перехода от одних динамических переменных к другим.

Функцию Гамильтона можно также получить ещё с помощью вариационного метода.