Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Функция Лагранжа простейших систем





 

Рассмотрим системы с одной степенью свободы.

1. Плоский математический маятник (Рис.3).

- уравнение связи.

Число степеней свободы равно единице (см. §1).

- кинетическая энергия.

U – потенциальная энергия.

U=mgh, где h – уровень подъёма над положением равновесия.

Имеем:

Рассмотрим случай малых колебаний:

, φ – измеряется в радианах.

L – длина дуги, R – радиус окружности. Тогда:

Функция Лагранжа:

Уравнение движения:

Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо два начальных условия:

1)

2)

 

2. Линейный гармонический осциллятор (Рис.4).

k – упругость пружины,

l0 – длина пружины в недеформированном состоянии,

l – длина пружины в деформированном состоянии.

По закону Гука (для малых деформаций):

- малые деформации.

По второму закону Ньютона:

,

, , где .

Решение аналогично случаю 1. Начальные условия:

1)

2)

 

3. Аналогично для вертикального гармонического осциллятора (Рис.5)

(По закону Гука)

В данном случае: - не является результирующей силой, а лишь возвращающей систему к положению равновесия.

Задачи

 

 

 
 

1. Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).

Решение. в качестве координат берём углы φ1 и φ2, которые нити l1 и l2 образуют с вертикалью. Тогда для точки m1 имеем:

чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x2, y2 (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ1 и φ2:

после этого получим:

окончательно:

 
 

2. Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m2, точка которого (с массой m1 в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.

 

Решение. Вводя координату x точки m1 и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим:







Date: 2015-12-13; view: 992; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.016 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию