Скобки Пуассона и их свойства

1.

2.

3.

4.

5.

6. тождество Якоби

7.

Докажем свойство 7:

используем свойства 5 и 6:

используем свойство 1:

используем свойство 3:

Теорема Пуассона:

Пусть и интегралы движения, это означает, что и , тогда согласно свойству 7:

=0

Скобки Пуассона интегралов движения являются интегралом движения. Если мы знаем интегралы движения, то с помощью скобок Пуассона можно получать более удобные формы интегралов движения.

Рассмотрим частные случаи скобок Пуассона:

1.

т.к. и , то

2.

3.

Учитывая , , , получаем:

4.

5.

6.

, , тогда:

7.

8. Здесь - компонента вектора - функции от координат и импульсов.

, здесь - скаляр.

, здесь - скалярная функция координат и времени.

Задачи

1. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса материальной частицы.

Ответ: =-p_z

=0, =-p_y

2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.

Ответ: =-M_z, =-M_x, =-M_y.

3. Показать, что

=0, ,

где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.

Указание. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов r и p только в комбинациях r², p², . Поэтому

и аналогично для .

4. Показать, что

= ,

где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.

Указание. Произвольный вектор f(r, p) может быть написан в виде где - скалярные функции