Задачи для самостоятельного решения. · Задача 11.1.U- образная трубка с одинаковой площадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов

· Задача 11.1. U- образная трубка с одинаковой площадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов. Трубка содержит две несжимаемые и не смешиваемые жидкости с плотностями r₁ и r₂. Определить период t собственных колебаний системы около положения равновесия, если длина части трубки, занимаемой одной жидкостью, равна l ₁, а части, занимаемой другой, – l ₂.

Ответ: t = 2 p .

· Задача 11.2. Однородный сплошной цилиндр радиусом r может катиться без скольжения по внутренней поверхности неподвижной трубы, радиус которой равен R. Найти период t малых колебаний оси цилиндра.

Ответ: t = 2 p .

· Задача 11.3. К середине упругой невесомой горизонтально расположенной балки с коэффициентом k присоединен математический маятник массой m и длиной l. Определить собственные частоты w₁ и w₂ и нормальные координаты Q₁ и Q₂ системы.

Ответы: w₁ = , Q₁ = j – угол отклонения маятника от вертикали; w₂ = , Q₂ = s – смещение точки подвеса от положения равновесия.

Рис. 78

· Задача 11.4. Два одинаковых однородных стержня длиной l каждый соединены между собой в точке A шарнирно, а концы B и C могут скользить без трения по горизонтальным направляющим (рис. 78). К шарниру A присоединена вертикальная пружина, длина которой в недеформированном состоянии равна l, а жесткость такова, что равновесие системы имеет место при
j = 30⁰. Определить период t малых колебаний системы около этого положения равновесия, пренебрегая массами ползунов.

Ответ: t = (4 p / 3) .

Рис. 79

· Задача 11.5. Частица массой m находится на гладкой неподвижной горизонтальной плоскости и прикреплена к двум пружинам, концы которых закреплены неподвижно. В положении равновесия обе пружины не напряжены и образуют между собой прямой угол. Определить частоты w ₁ и w ₂ системы, ели жесткости пружин равны k₁ и k₂.

Ответ: w ₁ = ; w ₂ = .

· Задача 11.6 К*). К однородному цилиндру с моментом инерции J = a m r² и радиусом r, имеющему неподвижную горизонтальную ось вращения, прикреплены с двух сторон вертикальные упругие нити с коэффициентами жесткости k₁ и k₂ (рис. 79). Конец первой нити закреплен неподвижно в точке A, а на конце второй нити висит груз массой m. Найти собственные частоты w₁ и w₂ системы в символьном виде при k₁ = 2 k₂; a = 2. С помощью файла «Осциллятор2» вычислите значения собственных частот при k₁ = 10, k₂ = 30 и a = 2, а также a = 100.

Ответы: w₁ = ; w₂ = ;

w₁ = 5,602, w₂ = 21,632 при a = 2;

Рис. 80

w₁ =0,995, w₂ = 17,407 при a = 100.

· Задача 11.7 Ш. Брусок массой m скреплен пружиной жесткостью k с доской массой M (рис. 80). Доска лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Пружину сжимают на величину x₀ и отпускают. Найти зависимость деформации x пружины от времени t.

Ответ: x = x₀ cos (w t), где w = .

Рис. 81

· Задача 11.8. На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту на угол a, находится прикрепленный к пружине, как показано на рисунке 81, брусок массой m. В положении равновесия пружина растянута на величину l. Растянув пружину на 3 l, ее отпустили без начальной скорости. Найти зависимость растяжения x пружины от времени t.

Ответ: x = 2 l cos (w t), где w = .

Рис. 82

· Задача 11.9. Определить период t малых колебаний метронома, изображенного на рисунке 82. Метроном состоит из маятника AC, центр масс которого C отстоит от оси вращения O на величину s₀, и подвижного груза G, удаленного от оси O на величину s. Момент инерции маятника относительно O равен J. Масса маятника – M, масса груза – m.

Ответ: t = 2p .

· Задача 11.10. На концах горизонтально расположенного тонкого непроводящего стержня длиной l расположены две бусинки, несущие на себе электрический заряд q₁ каждая. Третья такая же бусинка с зарядом q свободно надета на стержень и помещена посредине. Смещение бусинки из средней точки приводит к ее колебаниям. Найти период t этих колебаний, считая их малыми.

Рис. 83

Ответ: t = p l .

· Задача 11.11. Шар массой m, укрепленный на верхнем конце невесомого стержня длины l, зажат между двумя горизонтальными пружинами жесткостью k с закрепленными концами (рис. 83). Стержень может свободно поворачиваться вокруг неподвижной нижней точки. Считая пружины в положении равновесия не напряженными, найти период t колебаний системы.

Ответ: t = 2 p / .

Рис.84

· Задача 11.12. Однородный стержень массой m и длиной l шарнирно закреплен в точке O и удерживается в горизонтальном положении при помощи вертикальной пружины с жесткостью k, прикрепленной в точке M к стержню на расстоянии а от точки O (рис. 84). Определить период t малых колебаний стержня в вертикальной плоскости.

Ответ: t = 2 p .

· Задача 11.13.К. Груз массой M = 0,5 кг прикреплен к вертикально расположенной пружине жесткостью С = 10 Н/м. К грузу снизу подвешена аналогичная система с M1 = 2 M и C1 = 2 C. Проанализируйте колебания рассматриваемой системы с помощью файлов «Изучение МО» и «Функция Лагранжа». Запишите периоды T1 и T2 нормальных колебаний и функцию Лагранжа L в каноническом виде.

Ответы: T1 = 0,727 c, T2 = 2,714 с;

L = 0,429 vq1² – 32,055 q1² + 0,634 vq2² – 3,397 q2².