Задачи для самостоятельного решения. · Задача 9.1.Однородный диск радиусом R, вращающийся с угловой скоростью w0 вокруг своей оси, расположенной вертикально

· Задача 9.1. Однородный диск радиусом R, вращающийся с угловой скоростью w₀ вокруг своей оси, расположенной вертикально, опустили на горизонтальную плоскость. Коэффициент трения диска о плоскость равен m. Через сколько времени t диск остановится?

Ответ: t = 3 R w₀ / (4 g m).

· Задача 9.2. Груз массой m прикреплен к тросу, намотанному на сплошной цилиндрический барабан, который может вращаться вокруг оси цилиндра, расположенной горизонтально. Масса барабана равна M. Ось барабана фиксируется подшипниками. Определить ускорение w опускающегося груза, а также силу F давления барабана на подшипники. Массой троса и трением пренебречь.

Ответы: w = ; F = g .

· Задача 9.3. Однородный сплошной цилиндр с горизонтальной осью скатывается без скольжения под действием силы тяжести по наклонной плоскости. Коэффициент трения равен m. Каков угол a наклона плоскости к горизонту и каково ускорение w оси цилиндра? Сопротивлением качения пренебречь.

Ответы: a £ arctg (3 m); w = (2/3) g sin a.

· Задача 9.4. Решить задачу из примера 9.1, предполагая, что начальная скорость оси цилиндра направлена противоположно скорости его верхних точек.

Ответы:

v = v₀ – m g t и w = w₀ – 2 m g t / r пока t < t₁ = (v₀ + w₀ r) / (3 m g),

после чего v = v₁ = (2 v₀ – w₀ r) / 3 и w ₁ = – v₁ r.

Рис. 68

· Задача 9.5. Горизонтальная платформа в виде однородного сплошного диска радиусом R и массой M может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На платформе находится человек массой m на расстоянии r от оси вращения. С какой угловой скоростью w будет вращаться первоначально покоившаяся платформа, если человек станет двигаться со скоростью u относительно платформы перпендикулярно ее радиусу?

Ответ:

w = 2 m r u / (M R² + 2 m r²).

· Задача 9.6 Ш. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v, застревает в бруске массой M (рис. 68). Брусок лежит на гладкой горизонтальной плоскости и соединен с вертикальной стенкой пружиной жесткостью k. Найдите наибольшую деформацию x пружины.

Ответ: x = .

Рис. 69

· Задача 9.7. Шкив M, вращающийся с угловой скоростью w₀, тормозится при помощи ручного тормоза (рис. 69). Какой силой P надо прижать рукоятку, чтобы шкив остановился через время t, если коэффициент трения равен m, длина рукоятки a, OK = b, момент инерции шкива J, его радиус r.

Ответ: P = J w₀ b / (a r m t).

· Задача 9.8. Однородному стержню длиной 2 l, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщена угловая скорость w₀ вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр. Определить время t вращения стержня до остановки, считая его давление на плоскость равномерным, а коэффициент трения о плоскость равным m.

Ответ: t = 2 w₀ l / (3 g m).

Рис. 70

· Задача 9.9. При пуске в ход электрической лебедки, изображенной на рисунке 63, к барабану приложен вращающий момент M, пропорциональный времени t, то есть M = a t, где a – постоянная. Груз массой m поднимается посредством каната, навитого на барабан, радиус которого r, а масса – m₁. Определить угловую скорость w барабана, считая его сплошным однородным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась в покое.

Ответ: w =

Рис. 71

· Задача 9.10. Четыре одинаковых груза массами m₁ каждый вращаются на крестовине в вертикальной плоскости (рисунок 70). Расстояния от грузов до оси вращения одинаковы и равны l. Крестовина приводится во вращение при помощи груза массой m₂, прикрепленного к нити, намотанной на барабан. Определить силу T натяжения троса, если радиус барабана, на который он намотан, равен r. Массой барабана, крестовины и троса, а также трением пренебречь.

Ответ: T = 4 m₁ m₂ g l ² / (4 m₁ l ² + m₂ r²).

· Задача 9.11. Груз массой m₁ поднимается при помощи ворота. Масса барабана ворота равна m₂, радиус барабана R, длина рукоятки l (рисунок 71). Считая силу F, приложенную перпендикулярно к рукоятке барабана, постоянной по модулю, найти зависимость перемещения x груза от времени t, а также силу T натяжения троса. Барабан считать сплошным однородным цилиндром. Массой рукоятки пренебречь.

Ответы:

x = ; T =

· Задача 9.12. Однородная тонкостенная труба массой m поднимается при помощи идеальных невесомых блоков как показано на рисунке 72. Определить угловое ускорение b трубы и время t ее подъема на высоту h, если к концам тросов приложены силы ₁ и ₂. Радиус трубы равен r.

Рис. 72

Ответы: b = ; t = .

Рис. 73

· Задача 9.13. Однородная круглая катушка радиусом R и массой m обмотана в средней части нитью так, что концы нити расходятся в разные стороны, как показано на рисунке 73, и натягиваются постоянными силами ₁ и ₂. Найти проекцию ускорения w_X, с которым будет двигаться ось катушки, если момент инерции катушки равен J, радиус ее средней части – r. Катушка движется без скольжения.

Ответ:

w_X = .

Рис. 74

· Задача 9.14. Тяжелый круглый цилиндр A массой m обмотан тонкой нитью конец которой B закреплен неподвижно (рис.74). Цилиндр опускается вниз без начальной скорости, раскручивая нить. Определить скорость v оси цилиндра, после того как эта ось опустится на высоту h, а также силу T натяжения нити.

Ответ: v = ; T = m g / 3.

Рис. 75

· Задача 9.15. На тележке, движущейся со скоростью v, находится груз массой m (рис.75). Движению груза вперед по тележке препятствует упор B, высотой которого можно пренебречь. При мгновенной остановке тележки груз начинает опрокидываться, поворачиваясь вокруг упора. Определить угловую скорость w опрокидывания груза, если его момент инерции относительно упора равен J, а центр масс C возвышается над тележкой на высоту h.

Ответ: w = m h v / J.

· Задача 9.16. Два диска вращаются вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями w₁ и w₂. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны J₁ и J₂. Определить потерю DE кинетической энергии в случае, когда оба диска будут внезапно соединены вместе.

Ответ: DE = (1/2) J₁ J₂ (w₁ – w₂)² / (J₁ + J₂).

· Задача 9.17. Тело массой M свободно падает с высоты H. На высоте H / 2 в него попадает и застревает пуля массой m, летевшая горизонтально со скоростью v₀. Найти модуль скорости v тела после соударения и угол a ее наклона к горизонту.

Ответы: v = ; a = arctg .

· Задача 9.18 Ш. Из орудия массой M выстреливают снарядом массой m. Снаряд вылетает со скоростью u относительно орудия. Ствол наклонен под углом a к горизонту. Какова скорость v отката орудия?

Ответ: v = (m u cos a) / (M + m).

· Задача 9.19 Ш. Движущийся шар ударяет в неподвижный шар такой же массы, после чего шары движутся как одно целое. Какая часть механической энергии переходит во внутреннюю?

Ответ: Половина.

· Задача 9.20. Винтовка массой M подвешена горизонтально на двух параллельных нитях. При выстреле в результате отдачи она откачнулась вверх на высоту h. Масса пули равна m. Определить скорость v, с которой вылетела пуля.

Ответ: v = (M / m) .

· Задача 9.21 Ш. Шарик массой m падает на горизонтальную плоскость с высоты h и после этого отскакивает на высоту h₁. Найти среднюю силу F удара, если он продолжался время Dt.

Ответ: F = m / t + m g.

· Задача 9.22 К*) Найти время t, в течение которого будет падать карандаш длиной l = 18 см, если его поставить острием на шероховатую горизонтальную поверхность и отпустить, наклонив предварительно на угол j = 1,0⁰ к вертикали.

Ответ: t = 0, 57 с.

· Задача 9.23 *) Однородный сплошной диск массой m и радиусом r, вращаясь с угловой скоростью w₀ вокруг горизонтально расположенной оси, падает отвесно со скоростью v на горизонтальную поверхность с коэффициентом трения m. Под каким углом a к горизонту отскочит диск?

2 m, если w₀ r ≥ 6 m v

· Задача 9.24 К*). Частица массой m движется вдоль оси x в поле, потенциальная функция которого имеет вид U = k x² exp(–a x) / 2. Параметры k и a – положительные числа. Найти зависимость периода колебаний T от энергии E.

Указания: Следует перейти к безразмерным переменнымy = a x,
e = E a² / k и построить график зависимости безразмерной величины t =
T / 2 от e. При малых e положите exp(–a x)» 1 и найти аналитическое решение. При других значениях e проделайте численные расчеты с помощью компьютера.

Ответ: T = 2 , где y1 и y2 соответствуют точкам остановок. При e ® 0 величина t = p. Функция t (e) возрастает:

t(0,08)» 3,2, t(0,16)» 3,7, t(0,24)» 5.

Date: 2015-12-13; view: 1711; Нарушение авторских прав