Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Момент импульса. Применение законов сохранения
«Пример 9.1. Сплошной однородный цилиндр вращается вокруг своей горизонтальной оси с угловой скоростью w0. Оси вращения сообщили перпендикулярную к ней горизонтальную скорость v0, направленную в ту же сторону, что и скорость верхних точек цилиндра, после чего цилиндр положили на горизонтальную плоскость. Коэффициент скольжения между цилиндром и плоскостью равен m. Как с течением времени t будет изменяться угловая скорость w цилиндра и скорость его оси? Через сколько времени t1 прекратится скольжение цилиндра? Решение. Зависимость угловой скорости от времени может быть найдена с помощью закона изменения момента импульса относительно оси цилиндра: dL / dt = J dw / dt = M. (9.1) Зависимость от времени скорости центра масс, лежащего на оси цилиндра, определяется законом изменения импульса: dp / dt = m dv / dt = F, (9.2) где m – масса цилиндра. Уравнение (9.2) записано в проекции на ось, сонаправленную с 0. Так что v – проекция скорости, а F – сумма проекций всех приложенных к цилиндру сил. Входящий в (9.1) момент инерции цилиндра J = m r2 / 2, (9.3) где r – радиус цилиндра. В данной задаче отлична от нуля только сила трения. Если ось цилиндра движется медленнее, чем при качении без скольжения (v < w r), то частицы цилиндра скользят назад, и F = m m g, а M = – m m g r. При достаточно большой скорость оси цилиндра (v > w r) частицы будут скользить вперед, и F = – m m g, а M = m m g r. Подстановка этих значений в уравнения (9.1) и (9.2) позволяет найти их решения. Из (9.2) получим: v = v0 + m g t, если v < w r; (9.4) v = v0 – m g t, если v > w r. (9.5) Из (9.1) и (9,3) следует, что w = w0 – 2 m g t / r, если v < w r; (9.6) w = w0 + 2 m g t / r, если v > w r. (9.7) Пусть в начальный момент времени v0 > w0 r. Тогда скорость v будет убывать в соответствии с (9.5), а w – расти (смотри (9.7)), пока в некоторый момент времени t1 не наступит равенство v1 = v0 – m g t1 = w1 r – w0 r + 2 m g t1. (9.8) При этом исчезнет скольжение, F и M обратятся в нуль, и далее цилиндр в соответствии с (9.1) и (9.2) будет катиться без скольжения, вращаясь с угловой скоростью w1. Ось цилиндра станет двигаться с неизменной скоростью v1 = w1 r. Момент времени, начиная с которого прекратится скольжение, находится из (9.8): t1 = (v0 – w0 r) / (3 m g). (9.9) Подстановка (9.9) в (9.8) дает значение установившейся скорости: v1 = w1 r = (2 v0 + w0 r) / 3 (9.10)
Если в начальный момент v0 < w0, то, рассуждая аналогично, можно придти к заключению, что w будет убывать (9.6), а v – расти (9.4), пока в момент времени t1 = (w0 r – v0) / (3 m g) не прекратится скольжение. Выражение для установившейся скорости не отличается от (9.10). «Пример 9.2. Однородный стержень массой M и длиной l может свободно вращаться вокруг оси O (рис. 67). Его отпустили без толчка из горизонтального положения. Опустившись максимально вниз, он ударяет брусок. Масса бруска равна m. Удар неупругий. Коэффициент трения бруска о горизонтальную поверхность равен m. Найти путь, пройденный бруском. Решение. В задаче можно выделить следующие состояния: – стержень находится в горизонтальном положении; – стержень в вертикальном положении непосредственно перед ударом; – брусок начал движение; – брусок остановился. Переходы между этими состояниями удобно анализировать, примеряя законы изменения в интегральной форме. Применим закон изменения механической энергии для перехода бруска из состояния в состояние : 0 – m v2 / 2 = – m m g s. (9.11) Здесь v – скорость, которую приобрел брусок в результате удара стержня. Для нахождения скорости v запишем закон изменения момента импульса системы "брусок – стержень" при переходе из состояния в состояние : m v l + J v / l – J w = F l Dt» 0. (9.12) Первое слагаемое в (9.12) – момент импульса бруска, второе – момент импульса стержня после неупругого удара о брусок. J = M l 2 / 3– момент инерции стержня. w – угловая скорость стержня непосредственно перед ударом. F – сила сопротивления. Из-за малой продолжительности удара правой частью равенства (9.12) можно пренебречь. Действительно, F·t» Величина w может быть определена применением закона изменения энергии к стержню при переходе его из состояния в состояние : J w2 / 2 – 0 = M g l / 2. (9.13) В правой части (9.13) – работа сил тяжести, действующих на стержень. При ее нахождении можно считать массу стержня сосредоточенной в центре тяжести. Из уравнений (9.11) – (9.13) получаем: s = .
|