Задачи для самостоятельного решения. · Задача 10.1.Исходя из уравнения траектории, выразить большую a и меньшую b полуоси эллиптической орбиты m - точки в задаче Кеплера ( u (r) = – a / r ) через

· Задача 10.1. Исходя из уравнения траектории, выразить большую a и меньшую b полуоси эллиптической орбиты m - точки в задаче Кеплера (u (r) = – a / r) через фокальный параметр p и эксцентриситет e, а также через энергию частицы E и осевой момент импульса L_Z.

Ответы: a = = ; b = = .

· Задача 10.2. Две частицы, массы которых равны m₁ и m₂, начали двигаться из состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Определить время t, через которое столкнутся частицы, если первоначально расстояние между ними равнялось l.

Ответ: t = .

· Задача 10.3. Комета движется по параболической траектории, фокальный параметр которой равен p, а фокус совпадает с Солнцем. В перигелии скорость кометы равна v₀. Определить скорость кометы как функцию расстояния r до Солнца.

Ответ: v = v₀ .

· Задача 10.4. Зная период T обращения спутника вокруг Земли по эллиптической орбите и разность апогея и перигея H, определить эксцентриситет e орбиты. Масса Земли – M.

Ответ: e = H · .

· Задача 10.5. Найти зависимость периода T обращения планеты вокруг Солнца, масса которого равна M, от массы m планеты (уточнить третий закон Кеплера).

Ответ: T = 2 p a ^3/2 .

· Задача 10.6. Получить уравнение траектории m- точки в задаче Кеплера, воспользовавшись при вычислении интеграла подстановкой

y = L_Z / r –m a / L_Z .

· Задача 10.7 К. Исследовать на компьютере траектории движения m– точки в задаче Кеплера при:

a / |a| = ± 1; p = 2; p = 3; e = 0; 0,5; 0,9; 1,3; 1,5; 2; 3.

Указания.

1). Траектория задается параметрическими уравнениями

x = – r cos j; y = r sin j, где r = p / (a / |a| + e cos j) …

2). Можно воспользовать готовым файлом «Кеплер».

Задания.

1). Нарисовать на одном рисунке и в одном масштабе траектории в случае притягивающего центра.

2). Определить координаты характерных точек и проверить формулы, выражающие расстояния от фокуса до перицентра, от фокуса до апоцентра, от фокуса до точек, в которых j = ± p / 2. Проверить также формулы, определяющие большую и меньшую полуоси эллипса.

3). В случае инфинитного движения определить углы j = j_П, соответствующие асимптотам. Проверить справедливость формулы

a / |a| + e cos j_П = 0.

4). Выполнить аналогичные задания для отталкивающего центра.

· Задача 10.8. Частица равномерно движется по круговой орбите на высоте H над поверхностью небесного тела массой M и радиуса R. Определить скорость v частицы и период T ее обращения. Решить задачу двумя способами, один из которых может быть использован и в школе.

Ответ: T = 2 p .

· Задача 10.9. На какую высоту H нужно запустить искусственный спутник Земли, вращающийся по круговой орбите в плоскости экватора, чтобы он все время находился над одним и том же пунктом Земли? Радиус Земли – R.

Ответ: H = – R» 36·10³ км.

· Задача 10.10. Определить, с какой скоростью метеорит войдет в земную атмосферу, если его скорость вдали от Земли была равна v₀ = 10 км/с.

Ответ: v = » 15 км/c.

· Задача 10.11. Частица движется в поле центральной силы по окружности радиуса R, которая проходит через притягивающий центр. Трение отсутствует. В момент, когда частица находится на расстоянии 2R от центра притяжения, ее скорость равна v₀. Определить скорость частицы как функцию расстояния r до притягивающего центра.

Ответ: v = 4 v₀ R² / r².

· Задача 10.12. Комета движется по параболической траектории, фокус которой совпадает с Солнцем, а фокальный параметр равен p. В перигелии скорость кометы равна v₀. Какова скорость v кометы на расстоянии r от Солнца?

Ответ: v = v₀ .

· Задача 10.13 К. На высоте h от поверхности Земли телу сообщили скорость v под углом a к горизонту. По какой траектории будет двигаться тело? Зарисуйте траектории при h = R (R – радиус Земли), a = 0, a = 30⁰, v = (2, 3, 6) км/с. Вращением Земли пренебречь.

С какой минимальной скоростью vm и под каким углом am должно двигаться тело, стартовавшее с поверхности Земли, чтобы попасть в точку, удаленную от места старта на четверть земного меридиана? Через сколько временя tk оно достигнет этой точки?

Указания. Можно воспользоваться файлом «Polet». Выполните все задания, содержащиеся в этом файле.

Ответы: vm = 7,195 км/с, am = 22,5⁰, tk = 1,932 10³ с.