Колебания

«Пример 11.1. Однородный стержень AB массой m и длиной 2 l может скользить своими концами A и B по гладким взаимно перпендикулярным направляющим (рис. 76). В точке B к стержню прикреплена нить, перекинутая через идеальный блок, к другому концу которого присоединен груз массой m₂ = m₁ . Определить угол a₀ , при котором система находится в равновесии, и период T малых колебаний около этого положения. Массой ползунов и блока пренебречь.

Решение.

Рис. 76

Функция Лагранжа осциллятора при малых отклонениях от положения равновесия имеет вид:

L = T – U = m_q ² / 2 – k_q q² / 2, (11.1)

где T – кинетическая энергия, U – потенциальная функция (потенциальная энергия системы «груз – Земля», а q – обобщенная координата. Незначительное отклонение от положения устойчивого равновесия приводит к гармоническим колебаниям с периодом

T = 2 p . (11.2)

Таким образом, анализ возможных колебаний сводится к определению положения устойчивого равновесия и нахождению для него величин

m_q = = и k_q = – = . (11.3)

В данной задаче

T = m₁ v_C² / 2 + J ² / 2 + m₂ v_B² / 2, (11.4)

где v_C – скорость центра масс стержня, v_B – скорость груза m₂, равная скорости точки B, J = m₁ l ² / 3 – момент инерции стержня относительно центра масс.

Потенциальная энергия равна работе сил тяжести при переходе системы в нулевое состояние. Приняв состояние с a = p / 2 за нулевое, получим:

U = – m₂ g 2 l cos a + m₁ g (l – l sin a). (11.5)

Положение равновесия определяется условием = 0. Подставляя в это условие (11.5), найдем равновесное значение a = a₀:

2 m₂ g l sin a₀ – m₁ g l cos a₀ = 0. Þ

tg a₀ = m₁ / (2 m₂) = 1 / (2 ) = / 4. (11.6)

В качестве обобщенных координат возьмем a, то есть q:= a. Тогда из (11.5), (11.3) и (11.6) получим, используя также соотношение

1 + tg² a₀ = 1 / cos² a₀:

k_q = 2 m₂ g l cos a₀ + m₁ g l sin a₀ = m₂ g l 3 / = 3 m₁ g l. (11.7)

Поскольку величина k_q > 0, то равновесие является устойчивым (функция U(a) имеет минимум при a = a₀).

Входящие в выражение (11.4) скорости v_C и v_B можно выразить по формуле Эйлера, принимая во внимание, что точка O (рис. 76) является мгновенным центром вращения стержня AB:

v_C = ·OC = l; v_B = · OB = 2 l sin a.

Подставляя эти значения в (11.4), получим

T = 2 m₁ l ^{2 2} (1 + 3 sin² a) / 3.

Отсюда с учетом (11.6) найдем:

m_q = = m₁ l ². (11.8)

Теперь можно подставить (11.7) и (11.8) в (11.2) и получить ответ:

T = 2 p = 5,08 .

«Пример 11.2. Два невесомых стержня длиной l с укрепленными на нижних концах грузами массой m могут свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг точек A и B (рис. 77). Стержни соединены пружиной жесткостью k на расстоянии b от верхних концов. Когда стержни расположены вертикально, нить не деформирована. Найти собственные частоты w₁ и w₂ и нормальные координаты Q₁ и Q₂ рассматриваемого осциллятора.

Рис. 77

Решение.

Заданная в задаче система действительно представляет собой двумерный осциллятор, поскольку она обладает двумя степенями свободы и при вертикальном положении стержней находится в устойчивом равновесии.

В качестве обобщенных координат естественно взять углы j₁ и j₂ отклонения стержней (рис. 77). Через эти координаты нужно выразить функцию Лагранжа L = T –U.

Кинетическая энергия T равна:

T = m l ² ( ₁² + ₂²) / 2. (11.9)

Потенциальная функция U, или потенциальная энергия системы «стержни с грузами – пружина – Земля» равна работе сил тяжести и упругости при переходе системы в нулевое состояние. Пусть в нулевом состоянии

j ₁ = j₂ = 0.

Тогда U = m g (l – l cos j₁) + m g (l – l cos j₂) + k (b sin j₂ – b sin j₁)² / 2.

Если ограничиться малыми колебаниями, то последнее выражение приводится к виду:

U» (m g l + k b²) (j₁² + j₂²) / 2 – k b² j₁ j₂. (11.10)

Рассмотрим вначале стандартный метод анализа нормальных колебаний.

Находим кинематические m _{i j} и динамические k _{i j} параметры системы по формулам m _{i j} = ; k _{i j} = , где i, j = 2, 2. Дифференцирование (11.9) и (11.10) дает:

m₁₂ = m₂₁ = 0; m₁₁ = m₂₂ = m l ²; (11.11)

k₁₁ = k₂₂ = m g l + k b²; k₁₂ = k₂₁ = – k b². (11.12)

Для нахождения собственных частот решаем вековое уравнение

m g l + k b2 – m l 2 w2	– k b2
		= 0
– k b2	m g l + k b2 – m l 2 w2

Det (k _{i j} – w² m _{i j}) = 0. С параметрами (11.11) и (11.12) оно имеет вид:

Решая (11.13), находим собственные частоты, то есть частоты нормальных колебаний:

w₁ = и w₂ = . (11.14)

Соответствующие этим частотам нормальные координаты Q₁ и Q₂ должны удовлетворять уравнениям

j _i = A _{i a} Q _a, (11.15)

где a = 1, 2, а A _{i a} находится из системы

(k _{i j} – m _{i j} w _a²) A _{j a} = 0. (11.16)

Подставляя в (11.16) w_a = w₁, а также (11.11) и (11.12), получим:

(m g l + k b² – m l ² g / l) A₁₁ – k b² A₂₁ = 0,

–k b² A₁₁ + (m g l + k b² – m l ² g / l) A₂₁ = 0.

Отсюда следует, что A₁₁ = A₂₁.

Аналогично, подставляя в (11.16) w _a = w ₂, найдем, что A₁₂ = – A₂₂.

С найденными значениями уравнения (11.15), то есть

j₁ = A₁₁ Q₁ + A₁₂ Q₂,

j₂ = A₂₁ Q₁ + A₂₂ Q₂,

дают:

Q₁ = (j₁ + j₂) / (2 A₁₁), (11.17)

Q₂ = (j₁ – j₂) / (2 A₂₂). (11.18)

Если Q₂ = 0, то есть j ₁ = j₂, то в системе реализуются нормальные колебания с частотой w₁ (11.14). В этом случае пружина не деформирована, и поэтому результат такой же, как для математического маятника.

Второе нормальное колебание (при Q₁ = 0, или j₁ = – j₂) происходит с большей частотой w₂ (11.14), так как процесс убыстряется благодаря силе упругости пружины.

Рассмотрим второй способ анализа нормальных колебаний – метод приведения функции Лагранжа к каноническому виду, то есть к виду:

L = (m _{a a}² – k _aQ _a²) / 2. (11.19)

Сопоставляя формулы (11.9) и (11.10) с (11.19), видим, что приведение функции Лагранжа к каноническому виду сводится к такому подбору линейных комбинаций типа (11.15), при котором формула (11.10) избавилась бы от смешанных производных обобщенных координат, то есть чтобы произведение j1·j2 превратилось в выражение B1 Q12 + B2 Q22, где B1 и B2 – некоторые постоянные.

Формула разности квадратов наводит на мысль попробовать подстановку

j₁ = Q₁ + Q₂ и j₂ = Q₁ – Q₂ . (11.20)

Подставляя (11.20) в (11.9) и (11.10), получим

L = m l ² ( ₁² + ₂²) – m g l (Q₁² + Q₂²) – 2 k b² Q₂².

Лагранжиан в координатах Q₁ и Q₂ действительно имеет канонический вид (11.19) с параметрами:

m₁ = m₂ = 2 m l ²; k₁ = 2 m g l, k₂ = 2 m g l + 4 k b². (11.21)

Соответствующие нормальным координатам Q₁ и Q₂ частоты определяются формулой w_a = . При подстановке (11.21) она дает соотношения (11.14).

Формулы (11.20) приводят к выражениям (11.17) и (11.18), полученным ранее другим способом, если положить произвольные постоянные
A₁₁ = A₂₂ = 1.