Задачи для самостоятельного решения. · Задача 8.1 Ш.Тележка с песком массой M катится горизонтально со скоростью vТ

· Задача 8.1 Ш. Тележка с песком массой M катится горизонтально со скоростью v_Т. В нее ударяет и застревает в песке снаряд массой m, который падал со скоростью v_С под углом a к горизонту навстречу тележке. Как будет двигаться тележка после удара?

Ответ: Проекция скорости тележки на направление первоначального движения v_x = (M v_Т – m v_С cos a) / (M + m).

Рис. 64

· Задача 8.2. Брусок A массой m₁ может скользить по гладкой горизонтальной плоскости. К бруску шарнирно присоединен невесомый стержень длины l, на конце которого укреплен груз B массой m₂ (рис. 64). Стержень отклонен на угол j и отпущен без начальной скорости. Определить координату x_A тела A в зависимости от угла отклонения j (рис. 64), полагая, что x_A| _{j = 0} = 0. Найти также траекторию движения груза B.

Ответы:

x_A = – (m₂ l sinj) / (m₁ + m₂); эллипс с полуосями l (m₁ + m₂) / m₁ и l.

· Задача 8.3. Самолет с воздушно-реактивным двигателем совершает прямолинейный горизонтальный полет. Двигатель захватывает в единицу времени определенную массу q воздуха и приблизительно столько же отбрасывает назад со скоростью u относительно самолета. Определить скорость самолета как функцию времени, пренебрегая силами сопротивления. Масса самолета – m₀. Скорость самолета в момент включения двигателя пренебрежимо мала.

Ответ: v = u (1 – exp (– q t / m)).

· Задача 8.4. Космический корабль движется в безвоздушном пространстве вдали от тяготеющих масс со скоростью ₀. В некоторый момент времени включается двигатель корабля, который выбрасывает в единицу времени массу q со скоростью относительно корабля, направленную против ₀. Какова будет скорость v корабля спустя время t после включения двигателя? Какой путь s за это время пройдет корабль? Масса корабля до включения двигателя была равна m₀.

Ответы: v = v₀ + u ln ; s = (v₀ + u) t – ln .

· Задача 8.5. Как с течением времени должна изменяться масса реактивного автомобиля, чтобы он из состояния покоя двигался горизонтально с постоянным ускорением w? Сила сопротивления пропорциональна скорости (коэффициент пропорциональности – k). Скорость истечения продуктов сгорания топлива равна u. Начальная масса автомобиля равна m₀.

Ответ: m = (m₀ – k u / w) exp (– w t / u) – k t + k u / w.

· Задача 8.6. В задаче 6.6 (рис. 53) найти силу F давления блока на ось при движении грузов.

Ответ: F = g (m₁ + m₂ + m) – .

· Задача 8.7. Змея массой M и длиной L лежит на чашке уравновешенных весов. Определить, какую гирю нужно положить на противоположную чашку весов, чтобы не нарушилось равновесие, когда змея начнет поднимать голову вертикально вверх со скоростью v.

Ответ: m = M v² / (g L).

· Задача 8.8 *). Свернутую в клубок цепочку положили на край горизонтального гладкого стола так, что маленький кусочек цепочки свесился со стола. Как с течением времени t будет меняться длина x свешивающейся части цепочки?

Ответ: x = g t² / 6.

· Задача 8.9. По боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием BC на гладкую горизонтальную плоскость, могут скользить два бруска массами m₁ и m₂ (рис. 65). Бруски связаны невесомой нерастяжимой нитью переброшенной через блок, укрепленный на ребре A. Масса клина с блоком равна M. Найти перемещение Dx клина по горизонтальной плоскости при опускании на высоту h бруска, скользящего по грани, наклоненной под углом a к горизонту.

Рис. 65

Ответ:

Dx = h (m₁ ctg a + m₂) / (m₁ + m₂ + M).

· Задача 8.10. Ракета движется вверх в однородном поле тяжести с постоянным ускорением w = 3 g. Скорость истечения продуктов сгорания топлива относительно ракеты равна u. Определить, через сколько времени t масса ракеты уменьшится вдвое.

Ответ: t = (u ln 2) / (4 g).

Рис. 66

· Задача 8.11. На однородный цилиндр, могущий свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, намотан трос, на свободном конце которого подвешен груз массой m. Определить силу давления на ось цилиндра, если груз опускается с ускорением w, а масса цилиндра равна M.

Ответ: F = (M + m) g – m w.

· Задача 8.12. Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную нулю, движется с постоянным ускорением w по горизонтальным направляющим. Скорость u истечения газов относительно тела постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь s, пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз.

Ответ: s = (u ln k)² / (2 w).

· Задача 8.13. Груз массой m₁ поднимается при помощи блочного приспособления, изображенного на рисунке 66. Определить силу F давления на ось неподвижного блока, если груз массой m₂ опускается с ускорением w. Трением и массой блоков пренебречь.

Ответ: F = (m₁ + m₂) g – (m₂ – m₁ / 2) w.